Глава XXVII. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДУЮЩИХ

305. Представляя теорию интегральных инвариантов в слегка видоизмененной форме, мы можем вывести из нее еще ряд заключений, которые будут полезны в дальнейшем.

Начнем с изучения простого примера. Пусть дана точка, координаты которой в пространстве суть х, у и z и движение которой определяется уравнениями

Величины суть заданные и однозначные функции от х, у, z; предположим сначала, что обращаются в нуль на всей оси z, так что

есть решение уравнений (1).

Далее положим

тогда уравнения (1) примут вид

где функции от периодические с периодом относительно

Мы условимся давать только положительные значения и сможем это легко сделать, поскольку есть решение.

Я предполагаю теперь, кроме того, что никогда не может обратиться в нуль, оставаясь, например, положительной; тогда всегда будет возрастать вместе с

Вообразим, что мы проинтегрировали уравнения (2) и что их решение представлено в форме

Буквы а и Ь представляют постоянные интегрирования.

Пусть

Пусть точка, координаты которой суть

a М - точка с координатами

Эти две точки принадлежат полуплоскости расположенной со стороны положительных х.

Будем называть точку последующей точки

Это название оправдано тем, что если рассмотреть семейство кривых, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1), и если провести через точку кривую этого семейства и продолжить ее до тех пор, пока она снова не встретит полуплоскость то это новое пересечение будет иметь место в

Если в этой полуплоскости построить любую фигуру то последующие различных точек образуют фигуру которую мы будем называть последующей

Ясно, что непрерывные функции от

Следовательно, последующая непрерывной кривой будет непрерывной кривой, последующая замкнутой кривой будет замкнутой кривой, последующая -связной области будет -связной областью.

Предположим теперь, что три функции связаны соотношением

положительная и однозначная функция от

Тогда уравнения (1) допускают интегральный инвариант

уравнения (2) допускают

Рассмотрим теперь уравнения

где рассматривается как независимая переменная.

Очевидно, они допускают интегральный инвариант

Так как предполагались выше существенно положительными, то это — положительный интегральный инвариант.

Пусть любая область, расположенная в полуплоскости

ее последующая.

Пусть есть интеграл

распространенный на плоскую область тот же самый интеграл, распространенный на плоскую область

Пусть тогда объем, порожденный областью при ее повороте вокруг оси z на бесконечно малый угол интеграл (4), распространенный на будет равен

Так как интегральный инвариант (4) должен иметь одно и то же значение для и для то должно быть

Таким образом, интеграл (5) имеет одно и то же значение для любой области и ее последующей.

Это — новая форма фундаментального свойства интегральных инвариантов.

306. Итак, пусть дана замкнутая кривая лежащая в полуплоскости и ограничивающая область Пусть последующая кривой она будет также замкнутой кривой, ограничивающей область а эта область будет последующей

Если интеграл (5), распространенный на и на имеет значения то

и отсюда следует, что не может быть частью частью

Можно сделать четыре предположения об относительном расположении обеих замкнутых кривых .

1) лежит внутри

2) лежит внутри

3) обе кривые лежат вне друг друга;

4) обе кривые взаимно пересекаются.

Уравнение исключает две первые из этих гипотез.

Если по какой-либо причине исключается также и третье предположение, то наверняка обе кривые пересекаются.

Предположим, например, что X, Y, Z зависят от произвольного параметра и что для кривая будет своей собственной последующей; тогда для очень малых значений кривая будет очень мало отличаться от следовательно, не может случиться, чтобы обе кривые и лежали вне друг друга; они должны пересекаться.