Инвариантные кривые

307. Я назову инвариантной кривой всякую кривую, которая будет своей собственной последующей.

Легко построить инвариантные кривые; пусть, в самом деле, любая точка полуплоскости, ее последующая; соединим любой дугой кривой пусть последующая дуги последующая и так далее. Множество дуг кривых очевидно, составит инвариантную кривую. Однако мы должны также рассмотреть инвариантные кривые, происхождение которых будет более естественным.

Допустим, что уравнения (1) допускают периодическое решение. Пусть уравнения

представляют это периодическое решение, так что функции периодичны по с периодом Т.

Я предполагаю, что когда увеличивается на увеличивается на

Уравнения (6) представляют кривую; пусть точка, в которой эта кривая пересекает полуплоскость; эта точка очевидно, будет своей собственной последующей.

Предположим теперь, что существуют асимптотические решения, очень близкие к периодическому решению (6). Пусть уравнения

представляют эти решения.

Функции будут разложимы по степеням причем коэффициенты будут периодическими функциями от В этом выражении а — характеристический показатель, А — постоянная интегрирования.

В уравнениях (7) три координаты х, у, z выражены, следовательно, в функции двух параметров таким образом, эти уравнения представляют поверхность, которую можно назвать асимптотической поверхностью. Эта асимптотическая поверхность пройдет через кривую (6), потому что уравнения (7) приводятся к уравнениям (6), если в них положить

Асимптотическая поверхность пересечет полуплоскость вдоль некоторой кривой, проходящей через точку и, очевидно, являющейся инвариантной кривой.

308. Рассмотрим инвариантную кривую К. Я предполагаю, что X, Y, Z зависят от параметра так же, как и кривая А.

Я предполагаю, что при кривая К замкнута, но что она перестает быть замкнутой для малых значений

Пусть точка кривой К. Положение этой точки будет зависеть от при кривая К замкнута, так что после обхода этой кривой, начиная с мы возвращаемся в точку если очень мало, этого более не произойдет, но мы вновь пройдем очень близко от следовательно, мы будем иметь на кривой К дугу кривой, отличной от той, на которой лежит но которая пройдет очень близко от Пусть точка этой дуги кривой, которая наиболее близка к

Я соединяю

Пусть последующие эти две точки будут лежать па пусть последующая кривая малого отрезка прямой

Мы должны будем рассмотреть замкнутую кривую , которая состоит из дуги кривой К, заключенной между и малого отрезка прямой Какова будет ее последующая?

Предположим для определенности, что четыре точки следуют на К в порядке

Рис. 1

Рис. 2

Последующая кривой будет состоять из дуги кривой К и малой дуги последующей малого отрезка прямой

Можно сделать несколько предположений.

1. Малый криволинейный четырехугольник выпуклый, я хочу сказать, что ни одна из его криволинейных сторон не имеет двойной точки и что единственными точками, общими для двух сторон, являются вершины. При этом предположении кривая представится в том виде, как это указано на одном из следующих двух рисунков (рис. 1 и 2).

Эта гипотеза должпа быть отброшена, ибо очевидно, что интеграл в случае рис. 1 больше для чем для и меньше в случае рис. 2.

2. Дуга или имеет двойную точку. Если бы инвариантная кривая К имела двойную точку, то мы должны были бы иметь двойную точку на дуге, соединяющей любую точку кривой с ее первой последующей; мы предположим, что это не так; и, в самом деле, это обстоятельство не представится ни в одном из приложений, которые я имею в виду; в частности, оно не представится в случае инвариантной кривой, порожденной асимптотической поверхностью, как я это объяснил в конце предыдущего пункта. В самом деле, легко установить, что асимптотическая поверхность не содержит кривых, состоящих из двойных точек, если ограничиться частью этой поверхности, соответствующей малым значениям величин, которые я назвал выше

С другой стороны, прямая не имеет двойной точки, и то же самое должно быть на ее последующей В итоге мы можем предположить, что четыре стороны нашего четырехугольника не имеют двойной точки.

3. Дуга пересекает дугу (Этот случай содержит как частный случай тот, когда кривая К замкнута.) Тогда наши кривые имеют вид, представленный на рис. 3.

4. Дуга пересекает свою последующую В этом случае наши кривые будут иметь вид, представленный на рис. 4.

Имеются случаи, когда это предположение следует отбросить. Предположим, например, что X, Y, Z зависят от параметра что при кривая К замкнута и что каждая из ее точек является своей собственной последующей, так что при четыре вершины четырехугольника совпадают.

Тогда четыре расстояния будут бесконечно малыми, если является основной бесконечно малой. Предположим, что бесконечно малая порядка бесконечно малая порядка и что больше

Так как последующая то длина дуги должна быть порядка Пусть тогда С — одна из точек пересечения дуги В треугольнике, у которого две стороны — прямые а третьей стороной является дуга кривой составляющая часть сторона больше разности двух других; следовательно, она должна быть порядка а мы видели, что она должна быть порядка

Следовательно, это предположение должно быть отброшено.

5. Дее смежные стороны четырехугольника пересекаются, например и В этом случае необходимо, чтобы дуга являющаяся предшествующей сама пересекала если точка пересечения точка пересечения с дугой то будет последующей А, и мы получим следующую фигуру (рис. 5).

Очевидно, что могут играть ту же самую роль, что и и что мы приходим снова к первому случаю.

Следовательно, это новое предположение должно быть отброшено.

В итоге две дуги и будут пересекаться всякий раз, когда по той или иной причине предположения 2 и 4 должны быть отброшены.

Остается изучить случай, когда точки следуют на кривой К в другом порядке. Порядки не отличаются существенным образом от того, который мы только что изучили.

Такие порядки, как не представятся в последующих приложениях; в самом деле, мы всегда будем предполагать, что если — очень мало, то расстояния будут очень малы по сравнению с длиной дуг или

Остается порядок или эквивалентные порядки; мы также не будем говорить о них; ясно, что если будет иметь место этот порядок, то на дуге будет существовать точка, являющаяся своей собственной последующей.

309. Предположим, например, что уравнения (1) допускают периодические решения

и асимптотические решения

Предположим, что уравнения (1) зависят от очень малого параметра и что X, Y, Z разложимы по степеням этого параметра.

Рис. 3

Рис. 4

Предположим, что при асимптотические решения (7) приводятся к периодическим решениям. Вот каким образом это может произойти. Мы сказали, что разложимы по степеням причем коэффициенты будут периодическими функциями от Но показатель а зависит от предположим, что он обращается в нуль при тогда при функции станут периодическими функциями от а решения (7) сведутся к периодическим решениям.

Асимптотическая поверхность пересечет полуплоскость по некоторой кривой проходящей через точку точку пересечения полуплоскости с пространственной кривой (6).

Кривая очевидно, инвариантна, как я сказал в конце п. 307; при

0 каждая из точек является своей собственной последующей.

Кроме того, я предположу, что при кривая замкнута. Обратимся к главе VII тома мы видели в п. 107 и следующих, что в случае динамики характеристические показатели разложимы по степеням и притом попарно равны и противоположны по знаку. Мы предположим, что имеет место этот случай.

Тогда мы имеем в действительности две асимптотические поверхности, соответствующие двум равным и противоположным по знаку показателям а и —а; следовательно, мы имеем две кривые которые пересекутся в точке

Будем различать четыре ветви кривой

сходящиеся в точке и будут соответствовать показателю показателю — а.

Эти различные ветви кривой представлены на рис. 6. Ветвью является ветвь ветвью - ветвь ветвью С является ветвь и ветвью ветвь

Эти четыре ветви кривой, очевидно, инвариантны.

Рис. 5

Рис. 6

Теперь, при сливается с и (если мы предположим, что при кривая которую мы назовем тогда замкнута) эти четыре ветви кривой совпадут с замкнутой кривой

Отсюда можно заключить, что для очень малого эти ветви кривой будут мало отличаться друг от друга; что будет мало отличаться от от и что если достаточно продолжить кривую то она пройдет очень близко от если и ее достаточно продолжить.

Я отметил на рисунке различные точки этих ветвей кривой и их последующие. Так, суть соответственно последующие точек

Мы отметим сначала, что точки следуют одна за другой (как мы предположили в начале п. 308) в порядке если обходить ипвариантную кривую, образованную двумя ветвями и , от

Эта инвариантная кривая не замкнута, но она мало отличается от замкнутой кривой

Рассмотрим пять предположений п. 308 относительно этой инвариантной кривой. Первое предположение, как мы видели, всегда следует отбрасывать. Второе также не будет иметь места. В самом деле, оно могло бы осуществиться лишь в том случае, если бы асимптотическая поверхность (7) имела линию, состоящую из двойных точек.

Мы сказали, что разложимы по степеням итак, пусть

Если бы наша поверхность имела линию двойных точек, то эта линия должна была бы удовлетворять уравнениям (1); действительно, асимптотическая поверхность порождена бесконечным числом линий, удовлетворяющих этим уравнениям, так что если два куска этой поверхности пересекаются, то пересечение не может быть не чем иным, как одной из этих линий.

Так как зависит одновременно от времени и от параметра А, то мы подчеркиваем это, записывая

Если бы существовала линия двойных точек, то мы должны были бы млеть три тождества:

где две постоянные и где функция от эти три тождества должны существовать, каково бы ни было

Дифференцируя, будем иметь

Но в силу уравнений (1) мы будем иметь

и также

откуда

откуда, наконец,

где постоянная.

Отсюда мы выводим, что

где

Это тождество должно быть справедливым при , откуда

откуда и

или

или, полагая снова

Если оба значения равны, то лииии двойных точек не существует, что и требовалось доказать.

Третье предположение — то, которое следует принять.

Перейдем к четвертому; для того чтобы посмотреть, должно ли оно быть отброшено, необходимо постараться дать себе отчет о порядке величины расстояний и это мы и сделаем в различных приложениях, которые последуют в дальнейшем.

Наконец, пятое предположение всегда сводится к первому, как мы это видели.