Уравнения динамики

255. В случае уравнений динамики легко составить большое числоинтегральных инвариантов. Действительно, мы научились в п. 56 и следующих составлять некоторое число интегралов уравнения в вариациях, а в предыдущей главе мы узнали, каким образом из них получить интегральные инварианты.

Первым интегралом (уравнение (3), т. 1, стр. 147) является следующий:

Из него получается следующий интегральный инвариант:

Он второго порядка и очень важен для последующего. Немного далее (также на стр. 147, т. I) я получаю второй интеграл, который записываю в виде

Интегральный инвариант, который я вывожу из него, — четвертого порядка и записывается так:

Суммирование, указанное знаком 2, распространено на сочетаний индексов .

Аналогично, интеграл

где суммирование распространяется на сочетаний трех индексов , опять будет инвариантом, и т. д.

Таким образом, мы получаем интегральных инвариантов, если мы имеем пар сопряженных переменных; один из этих инвариантов

второго порядка, четвертого, шестого, последний порядка

Однако не следует думать, что эти инварианты все различны. Действительно, в конце п. 247 я сказал, что всегда можно вывести из одного инварианта второго порядка один инвариант четвертого порядка, один инвариант шестого порядка и так далее. Инварианты которые я только что определил, — не что иное, как инварианты, которые можно вывести подобным образом из первого из них.

Эти инварианты можно связать с рассуждениями из другой области; в начале стр. 149 тома I я показал, как можно вывести теорему Пуассона из интеграла (3) на стр. 147, или, что сводится к тому же, из интегрального инварианта

Оперируя таким же образом с инвариантом мы нашли бы теорему, аналогичную теореме Пуассона.

Пусть

— четыре интеграла уравнений динамики.

Пусть

— якобиан этих четырех интегралов относительно

Выражение

где суммирование распространено на все сочетания индексов к, будет опять интегралом.

Мы пришли бы к аналогичной теореме, исходя из какого-нибудь из инвариантов

Но согласно сделанному мною только что замечанию, все эти теоремы фактически не отличаются от теоремы Пуассона.

Однако среди этих инвариантов имеется один, которому следует придать большее значение, — это последний из них

Его можно было бы получить по способу, изложенному в предыдущем пункте; действительно, известно, что уравнения динамики допускают в качестве последнего множителя единицу.

256. Теперь я предполагаю, что х означают прямоугольные координаты точек в пространстве, и возвращаюсь к обозначениям стр. 149 I тома.

Мы нашли (стр. 150) следующий интеграл уравнений в вариациях

Соответствующий интегральный инвариант записывается в виде

Аналогично, интегралу

соответствует инвариант

интегралу

соответствует инвариант

Однако все эти инварианты не представляют большого интереса, так как их можно непосредственно вывести из интегралов живых сил, центра масс и площадей.

Этого нельзя сказать о последующем инварианте, который существует, если функция V является однородной относительно переменных х.

Мы видели в п. 56, что если V — однородная функция степени —1, то уравнения в вариациях допускают интеграл

или, опуская индексы,

Вообще, если V — однородная функция степени то тем же способом получим следующий интеграл:

откуда имеем интегральный инвариант

— инвариант совершенно особого характера, поскольку он зависит от времени.

Второй интеграл можно записать в виде

следовательно, это интеграл от полного дифференциала, и легко видеть, что

— не что иное, как постоянная живых сил, которую я обозначу через С.

Инвариант первого порядка; следовательно, это интеграл, взятый вдоль дуги некоторой кривой.

Пусть и значения постоянной живых сил па двух концах этой дуги.

Эта дуга представляет собой фигуру, обозначенную нами в предыдущей главе через когда эта фигура деформируется, превращаясь в F, то, как я объяснил в предыдущей главе, не изменяются.

Отсюда вытекает, что мы имеем

Интеграл

не останется, следовательно, постоянным, когда фигура F (которая сводится здесь к дуге кривой) деформируется; но его изменения пропорциональны времени.

Интеграл этот постоянен, если оба конца дуги соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.

В частности, он также постоянен, если дуга кривой замкнута. Следовательно, этот интеграл есть то, что я назвал в предыдущей главе относительным инвариантом.

Но если предположить дугу кривой замкнутой, то под знаком интеграла можно добавить любой полный дифференциал, не меняя величины интеграла; например, прибавить

с любым постоянным коэффициентом.

Таким образом, интегралы

— также относительные инварианты.

В п. 238 мы видели, что из относительного инварианта первого порядка можно вывести абсолютный инвариант второго порядка. Инвариант второго порядка, получаемый таким образом, есть не что иное, как

который мы изучили выше.

Существует случай, когда выражение

которое входит под знак интеграла, становится полным дифференциалом. Это случай, когда который имел бы место, если бы притяжение, вместо того чтобы подчиняться закону Ньютона, действовало обратно пропорционально кубу расстояния.

Тогда

Следовательно, есть полином первой степени относительно времени, и поскольку

то выражение полином второй степени относительно времени.

Это результат, к которому пришел Якоби в начале своих «Лекций по динамике».

Но, вообще

не есть полный дифференциал.

В частном случае ньютонова притяжения ваш инвариант принимает