Другой способ анализа

280. Изучение этого же вопроса может быть продвинуто, если несколько видоизменить рассуждения.

Предположим, например, что мы имеем дело с задачей динамики, что координаты различных материальных точек системы и что сопряженные переменные составляющие их количеств движения.

Мы изучим интегральные инварианты, алгебраические относительно и посмотрим, могут ли существовать другие, отличные от известного, который записывается в виде

Мы видели, что в окрестности периодического решения могут разлагаться по степеням Рассмотрим сейчас снова эти разложения. Мы можем предположить, что значение постоянной живых сил, которое соответствует периодическому решению, есть нуль, так что разложение будет вестись не только по степеням но еще и по степеням С. Кроме того, они будут зависеть от

Приравняв этим разложениям, получаем уравнений, которые разрешим относительно

Получим

Заметим, что как разлагается по степеням мы видим, что однозначные функции в окрестности периодического решения. Более того, могут быть [разложены по степеням по синусам и косинусам кратных 9.

С другой стороны, выражение (3) п. 278

которое соответствует инварианту (2) или аналогичным выражениям, которые соответствовали бы другому билинейному инварианту вида должны быть разложимы по степеням и билинейны относительно

Кроме того, когда мы заменяем в нем величины их значениями (7), это выражение должно стать независимым от Но время могло бы туда войти тремя способами: 1) в экспоненциальной форме; 2) в виде косинуса или синуса кратных вне знаков показательной и тригонометрических функций (и, как мы это сейчас увидим, самое большее во второй степени).

Оно не должно войти ни одним из этих способов.

1. Для того чтобы время не входило в экспоненциальной форме, необходимо и достаточно, чтобы это выражение было линейным относительно следующих величин, аналогичных (4):

где коэффициенты разлагаются по степеням .

2. Для того чтобы не входило в тригонометрической форме, необходимо и достаточно, чтобы наше выражение не зависело от 0, а только от его вариаций .

3. Нам остается определить условие того, чтобы не входило туда вне знаков показательных и тригонометрических функций. Заметим, что мы имеем

Будем различать в нашем выражении члены пяти видов в зависимости от того, будут ли они содержать множителем одну из величин, фигурирующих в первой, второй, третьей, четвертой или пятой строке таблицы (8).

При этих условиях, если мы заменим их значениями (9), увидим, что члены пяти видов будут содержать множителем соответственно:

Мы видим, что время могло бы войти во второй степени.

Заставим сначала исчезнуть члены с они могут произойти только от членов второго и четвертого вида.

Я говорю, что коэффициент при

должен обратиться в нуль.

В самом деле, так как виртуальные приращения постоянных произвольны, мы сможем предположить, что все . обращаются в нуль, за исключением а также, что все обращаются в нуль, кроме Тогда все члены с обращаются в нуль, за исключением члена

Мы имели бы исключения, если бы существовало соотношение между показателями действительно, более нельзя было бы предполагать, что все 5а, кроме одного, обращаются в нуль без того, чтобы этот последний сам обратился в нуль.

Теперь имеется четыре члена второго вида, которые дают члены с

Я запишу их для краткости в виде

разложены по степеням и Ф. Я обозначаю через выражение, которое фигурирует во второй строке таблицы (8):

выводится из перестановкой

выводится из перестановкой

выводится из если совершить одновременно эти две перестановки.

Для того чтобы исчезали члены с необходимо и достаточно, чтобы

Если это условие выполняется, четыре члена

доставят нам в качестве членов с

Рассмотрим теперь члены четвертого вида, которые мы объединим попарно; пусть

— группа из двух членов, где разложимы по степеням выражение, которое фигурирует в четвертой строке таблицы (10), и выражение, получающееся из него перестановкой и заменой на

Для того чтобы исчезали члены с необходимо, чтобы

и тогда члены с сведутся к

281. Теперь члены с разлагаются по степеням и по вариациям 8, 8 величин Нам остается заставить исчезнуть эти члены; я напишу сейчас, что они — нули, когда мы полагаем

не предполагая, разумеется, что нули.

Пусть в нашем инварианте означает то, чем становится коэффициент члена с когда мы делаем в нем Пусть есть то, чем становится коэффициент члена с

и - то, чем становится коэффициент члена с

Мы должны будем иметь тождественно

Будем писать для сокращения вместо вместо С и

вместо

Мы получим

или же

Под знаком или индекс к может принимать значения значения .

Приравнивая нулю коэффициент при находил

Приравнивая нулю коэффициент при находим

Эти уравнения выражают тот факт, что

есть полный дифференциал.

В уравнениях (12) и необходимо положить следовательно, постоянные, следовательно, линейные функции в действительности, как мы это видели, а могут быть разложены по степеням у, но результат, который мы только что получили, верен только в том случае, если мы пренебрегаем квадратами и если обрываем разложения а на членах первой степени. Кроме того, постоянные. Следовательно, выражение (13) является полным дифференциалом полинома второй степени.

Для того чтобы продвинуться дальше, выразим не в функции

а в функции

и, для того чтобы избежать путаницы, обозначим при помощи производные по новым переменным, а при помощи производные по старым. Тогда мы видим, что

есть полный дифференциал, что влечет за собой условия

Если мы знаем соотношения между а и у, то эти уравнения позволят нам определить коэффициенты

Мы можем выразить в функции переменных

записывая

Величины будут заданы уравнениями

и можно выбрать произвольно.

Прежде всего необходимо, чтобы уравнения (14) были совместными, что при требует определенных условий

Эти условия (15) будут всегда выполнены, поскольку всегда имеется интегральный инвариант

Если имеется несколько интегральных инвариантов, которые не обращаются в нуль тождественно для рассматриваемого периодического решения, то каждому из этих инвариантов должна соответствовать одна система значений коэффициентов

Если уравнения (4) допускают линейно независимых решений, то можно вычислить соответствующие значения при помощи уравнений а так как остается произвольным, мы будем иметь линейно независимых систем значений коэффициентов

Следовательно, мы можем получить различных интегральных инвариантов (если рассматриваемое периодическое решение не является особым в смысле п. 257), но мы не можем получить их больше.

282. Выше я сказал, что условия (15) наверное выполнены; можно было бы усомниться в этом; в самом деле, если уравнения (14) допускают различных решений, то можно иметь инвариантов; если, следовательно, имеется только один инвариант, то можно было бы предположить следовательно, наличие единственного инварианта

не было бы достаточным для того, чтобы можно было утверждать, что уравнения (14) наверняка допускают одно решение.

Мне остается рассеять это сомнение.

Прежде всего я замечаю, то в случае задачи трех тел имеется не один, а два интегральных инварианта.

В самом деле, в I томе в главе IV мы изучили уравнения в вариациях атой задачи.

На стр. 150 и 152 мы получили следующие интегралы:

Мы найдем также

Умножим (2bis) на (1), (Ibis) - на (2) и вычтем, получим

Левая часть линейна относительно определителей вида

Следовательно, мы имеем интеграл уравнений в вариациях и сможем вывести из него новый билинейный интегральный инвариант.

В случае задачи трех тел мы имеем, следовательно, по меньшей мере и можно быть уверенным, что условия (15) выполнены.

283. Будет ли то же самое в общем случае? Предположим, что этого пет. Тогда все коэффициенты, которые мы назвали должны быть нулями, так же как и все за исключением

Следовательно, когда мы даем значения, которые соответствуют рассматриваемому периодическому решению, т. е. когда полагаем

коэффициенты членов с должны обратиться в нуль, и остаются только члены с

Следовательно, наш инвариант должен был бы обратиться в нуль, когда мы имели бы

Но это не имеет места в случае инварианта

которому соответствует выражение

Пусть, в самом деле,

Мы должны были бы иметь равенство вида

Но это невозможно, поскольку левая часть является билинейной формой с определителем, равным 1, а правая часть — билинейной формой с определителем, равным 0.

Следовательно, мы должны заключить, что условия (15) выполнены всегда.

284. Исследуем теперь, могут ли уравнения (14) допускать несколько решений.

Пусть

— два таких решения, и предположим, что равенство

не выполняется; тогда два уравнения

повлекут за собой

Тогда индексы

разделятся на определенное число групп, которых будет столько же, сколько имеется различных значений для отношения два индекса будут принадлежать одной и той же группе, если они соответствуют одному и тому же значению отношения

Тогда для того чтобы зависело от (или ) необходимо, чтобы индексы и к принадлежали одной и той же группе.

Предположим для определенности, что мы имеем только две группы, содержащие соответственно индексы

Тогда

будут зависеть только от

а

будут зависеть только от

Тогда имеет место тот факт, что характеристические показатели образуют несколько независимых групп, так что одной группы не зависят от произведений относящихся к другой группе.

Периодические решения, для которых возникнет это обстоятельство (или для которых имело бы место соотношение между ), можно будет назвать частными.

Мы приходим к следующему заключению:

Для того чтобы существовал алгебраический инвариант, отличный от тех, которые нам известны, необходимо, либо чтобы все периодические решения были частными, либо чтобы они все были особыми в смысле п. 257.

Я не буду доказывать, что это обстоятельство не может представиться в задаче трех тел; но противоположное допущение кажется весьма неправдоподобным.