Интегральные инварианты и характеристические показатели

257. Можно задаться вопросом, существуют ли другие алгебраические интегральные инварианты кроме тех, которые мы только что образовали.

Можно было бы применить либо метод Брунса, либо метод, который я использовал в главах IV и действительно, интегральные инварианты соответствуют, как мы это видели, интегралам уравнений в вариациях, и к этим уравнениям можно было бы применить те же методы, что и к самим уравнениям движения.

Но, может быть, лучше стоит видоизменить эти методы, по крайней мере, по форме.

Пусть дана какая-нибудь система дифференциальных уравнений

и их уравнения в вариациях

Ищем сперва интегральные инварианты первого порядка вида

где выражение под знаком интеграла линейно относительно дифференциалов и где В — алгебраические функции от х.

Эти инварианты соответствуют линейным интегралам уравнений (2). Итак, каковы условия, чтобы уравнения (2) допускали интегралы, линейные относительно и алгебраические относительно

Предположим, что переменным х даются значения, которые соответствуют периодическому решению с периодом Т. Тогда коэффициенты уравнений (2) будут известными функциями от периодическими с периодом Т, и из них найдется общее решение уравнений (2) следующего вида:

где периодические функции от характеристические показатели, постоянные интегрирования.

Затем мы сможем разрешить линейные уравнения (4) относительно неизвестных и найдем

где - периодические функции от

Следовательно, между I будет иметься а соотношений вида (5) и, кроме них, никаких других.

Если уравнения (1) и (2) допускают различных интегралов, линейных относительно и алгебраических относительно х, то может случиться, что какие-либо из этих интегралов перестанут быть различными, если заменить в них переменные х значениями, которые соответствуют одному из периодических решений уравнений (1).

Каким же образом это может произойти?

Пусть

— эти линейных интегралов, где В будут алгебраическими функциями от х, которые будут соответствовать интегральным инвариантам вида (3).

Они различны, т. е. между ними не существует тождественных соотношений вида

где коэффициенты [3 — постоянные, а также соотношений вида

где интегралы уравнений (1).

Возможно ли тогда, чтобы между ними выполнялось соотношение вида

где произвольные функции только от

Согласно , если бы подобное соотношение имело место, то отношения функций должны были быть интегралами уравнений (1). Следовательно, мы имели бы

где интегралы, и, следовательно,

что противоречит предположению.

Итак, между не может существовать тождественного соотношения вида

Однако если х даны значения, которые соответствуют частному решению, периодическому или непериодическому, то может случиться, что левая часть (6) тождественно обращается в пуль.

Тогда мы найдем, что уравнение (6), которое не удовлетворяется тождественно, каковы бы ни были х, будет удовлетворяться, когда х будут

заменены подходящим образом выбранными функциями от а именно, теми из этих функций, которые соответствуют частному решению.

Я назову особым всякое частное решение, для которого возникнет это обстоятельство.

При этом могут представиться два случая:

Либо все периодические решения уравнений (1) особые.

Либо не все они особые.

258. Рассмотрим особое решение S.

Пусть

откуда

Поскольку соотношение (6) не выполняется тождественно, то не имеют место тождества

но так как соотношение (6) должно быть выполнено для решения то эти соотношения (7) (согласно нашему предположению — алгебраические) должны удовлетворяться значениями х, которые соответствуют решению S.

Пусть теперь

затем

Очевидно, решение должно удовлетворять соотношениям

затем соотношениям

и так далее.

Итак, мы составим последовательно соотношения (7), (7bis), (7ter) и т. д. и остановимся тогда, когда придем к системе соотношений, которые являются только следствиями соотношений, образованных ранее.

Соотношения (7), (7bis), (7ter) и т. д. будут алгебраическими согласно нашим предположениям, и их совокупность образует то, что я назвал в п. 11 системой инвариантных соотношений.

Следовательно, если система дифференциальных уравнений допускает особое периодическое решение, то она будет допускать систему инвариантных алгебраических соотношений.

Вероятно, задача трех тел не допускает инвариантных алгебраических соотношений, отличных от тех, которые уже известны. Однако я еще не в состоянии доказать это.

Допустим, что мы имеем несколько особых решений; для каждого из них должно быть

Только постоянные могут не быть одинаковыми для двух различных особых решений. Следовательно, не очевидно, что эти два особых решения должны удовлетворять одной и той же системе инвариантных соотношений. Тем не менее, как мы сейчас докажем, это имеет место.

Допустим для определенности, что последовательность рассуждений была бы такой же в случае Рассмотрим соотношений

Образуем таблицу Т из коэффициентов все определители, составленные при помощи четырех столбцов этой таблицы, должны быть равны нулю.

Если они обращаются в нуль не тождественно, то мы найдем таким образом одно или несколько соотношений, которым должны удовлетворять все особые решения, куда войдут только z и не войдут неопределенные коэффициенты

Если же они равны нулю тождественно, то рассмотрим тройку из соотношений (17); мы выведем из них

где М — миноры первого порядка таблицы Т.

Следовательно, мы будем иметь

Это соотношение (18) должно быть тождественным, ибо коэффициентом при является один из определителей таблицы Т, которые, как я предполагаю, тождественно равны нулю.

Следовательно, мы получили бы здесь соотношение вида что противоречит нашему предположению, по крайней мере, если не допускать, что все М равны тождественно нулю.

Если все миноры первого порядка таблицы Т тождественно равны нулю, то составим миноры второго порядка.

Пусть три из этих миноров, полученные выбором в таблице трех каких-либо столбцов и вычеркиванием в ней строк 1 и 4 для М, 2 и 4 — для М, 3 и 4 — для M.

Мы получим

Это соотношение также должно быть тождественным, ибо коэффициентом при в левой части является один из миноров первого порядка из Т, которые все, как я предполагаю, тождественно равны нулю.

Следовательно, это снова было бы соотношением вида по крайней мере, если не предполагать, что все миноры второго порядка М тождественно равны нулю.

Если же это так, то придем к тождеству

что снова является соотношением вида

Следовательно, не может случиться, чтобы все определители из таблицы Т тождественно обращались в нуль. Поэтому мы будем иметь, по крайней мере, одно соотношение (и, следовательно, систему инвариантных соотношений), которому должны будут удовлетворять все особые решения уравнений (1).

Можно было бы немедленно заключить, что все решения уравнений (1) не могут быть особыми.

Однако это не все; мы можем расширить наше определение особых решений.

Мы определили только что особые решения относительно интегралов уравнений (2), линейных относительно и соответствующих инвариантам (линейным и первого порядка) уравнений (1).

Мы могли бы определить абсолютно таким же образом особые решения относительно любых интегралов

уравнений (2) и уравнений полученных заменой на .

Эти интегралы должны быть однородными одной и той же степени как относительно , так и относительно ; это будут целые полиномы относительно этих переменных; однако они не обязательно линейны относительно ; следовательно, они могут соответствовать интегральным инвариантам высшего порядка или интегральным инвариантам первого порядка, но нелинейным.

Кроме того, интегралы должны быть различными, т. е. они не должны тождественно удовлетворять соотношениям вида (6), (6bis) или (6ter).

Я скажу тогда, что частное решение особое, если для значений х, которые соответствуют этому решению, удовлетворяется соотношение (6).

Тогда мы будем иметь

где одночлен, образованный произведением определенного числа сомножителей возведенных в подходящую степень, а алгебрапческис функции от х.

Кроме того, положим, как и выше,

и нам ничего не пужно будет изменять в предыдущих рассуждениях. Мы придем к тому же заключению.

Все особые решения относительно интегралов удовлетворяют одной и той же системе инвариантных алгебраических соотношений.

Эти результаты также верны, если рассмотреть интегралы следующего вида:

Определение особых решений относительно этих интегралов будет опять тем же, и особые решения будут удовлетворять той же системе инвариантных алгебраических соотношений.

Нужно было бы лишь повторить предыдущее доказательство, ничего в нем не изменяя. Только коэффициенты при величинах которые играли бы в этом доказательстве ту же роль, что и могли быть либо либо произведениями и либо произведениями вида

259. Я не хочу входить здесь в подробности тех соображений, которые заставляют меня считать правдоподобным, что в случае задачи трех тел все периодические решения не могут быть особыми.

Это увело бы слишком далеко от темы; я вернусь к этому позже; но пока я временно допущу это предположение, обращая внимание лишь на то, насколько маловероятно, чтобы все периодические решения задачи трех тел удовлетворяли одной системе инвариантных соотношений, что было бы необходимым согласно предыдущему пункту, для того, чтобы они могли быть особыми. Примем снова обозначения и нумерацию уравнений .

Если уравнения (1) и (2) допускают различных интегралов, линейных относительно 5 и алгебраических относительно х, то эти интегралов продолжают оставаться различными, когда х в них заменяются теми значениями, которые соответствуют неособому периодическому решению.

Записывая, что эти интегралов равны постоянным, и заменяя в уравнениях, полученных таким путем, величины х значениями, соответствующими некоторому периодическому решению, мы получим уравнений вида (5), в которых, однако, показатель будет нулем. Значит, эти уравнений должны находиться среди уравнений (5). Следовательно, для того чтобы уравнения (1) допускали различных интегральных инвариантов, линейных относительно х, необходимо, чтобы для всякого неособого периодического решения характеристических показателей были нулями.

Поищем теперь интегральные инварианты вида

Эти инварианты будут соответствовать интегралам уравнений (1) и (2), квадратичным относительно . В самом деле, инварианту (7) будет соответствовать интеграл

который должен быть квадратичным относительно и алгебраическим относительно х. Заменим в этом уравнении х теми значениями, которые соответствуют некоторому неособому периодическому решению; мы придем к

где однородный квадратичный полином относительно , коэффициенты которого суть периодические функции от

Все уравнения вида (8) должны выводиться из уравнений (5), а именно следующим образом.

В случае какой-либо проблемы динамики и, в частности, в случае задачи трех тел мы видели, что характеристические показатели попарно равны и противоположны по знаку. Следовательно, мы можем сгруппировать уравнения (5) попарно; пусть

Перемножая друг на друга уравнения получим уравнение вида (8), а все уравнения вида (8) должны быть линейными комбинациями уравнений, полученных таким образом.

Итак, если предположить, что уравнения (1) имеют каноническую форму уравнений динамики и что они содержат пар сопряженных переменных, мы получим пар уравнений, аналогичных уравнениям и, следовательно, для каждого периодического решения будет линейно независимых уравнений вида (8).

Выберем одно уравнение среди этих уравнений и их линейных комбинаций, пусть это будет поступим таким же образом со всеми остальными периодическими решениями; тогда мы будем иметь некоторый однородный полином второй степени относительно , коэффициенты которого будут функциями от переменных х, определенными только для тех значений х, которые соответствуют периодическому решению.

Остается узнать, можно ли сделать этот выбор таким образом, чтобы коэффициенты F были алгебраическими функциями от х или даже непрерывными функциями от х. Я ставлю задачу, не пытаясь пока ее решить.

Поищем теперь инварианты второго порядка, т. е. которые имеют вид двойного интеграла

где линейная функция произведений (коэффициенты этой линейной функции будут, разумеется, функциями от Эти инварианты второго порядка будут иметь следующее значение.

Вернемся к уравнениям (1) и (2) (мы все время сохраняем нумерацию п. 257) и составим, кроме того, уравнения

Они приведут нас к уравнениям, аналогичным уравнениям (5), которые я запишу в виде

Впрочем, они отличаются от уравнений (5) лишь штрихованными буквами.

Инварианты второго порядка будут соответствовать тогда, согласно предыдущей главе, тем из интегралов (1), (2) и (2а), которые линейны относительно определителей

и алгебраичны относительно переменных х.

Пусть

— один из этих интегралов; если в нем заменить х величинами, соответствующими периодическому решению, то получим уравнение вида

где линейная функция от определителей

коэффициенты которой будут периодическими функциями от

Вот каким образом теперь можно будет составить все соотношения вида (9), относящиеся к заданному периодическому решению.

В случае уравнений динамики уравнения (5а) разделяются на пары, как и уравнения (5); пусть

— одпа из этих пар; умножим (5а bis) на (5ter), (5а ter) - на (5bis) и вычтем; мы получим уравнение вида (9). Каждая пара уравнений даст нам одно, а все другие уравнения вида (9) будут только линейными комбинациями тех уравнений, которые можно образовать таким путем.

Среди всех уравнений вида (9), полученных таким образом, выберем одно; поступим так же со всеми остальными периодическими решениями; тогда мы будем иметь соотношение

левая часть которого будет линейной функцией определителей; коэффициенты этой линейной функции будут функциями х, определенными только для значений х, которые соответствуют периодическому решению.

Остается узнать, можно ли сделать выбор таким образом, чтобы эти коэффициенты были алгебраическими функциями или даже непрерывными функциями от х.

Обратимся теперь к линейным инвариантам первого порядка. Согласно п. 29, вид уравнений (4) и, следовательно, уравнений (5), оказывается измененным, если два или несколько характеристических показателей становятся равными.

Если, например, из этих показателей равны нулю, то можно записать соответствующее уравнение (5) в виде

где означает полином, целый относительно с постоянными коэффициентами.

Наибольшая степень этих полиномов есть точнее, число этих полиномов равно первый сводится к постоянной, степень второго — не больше единицы, третьего — не больше двух и т. д., и, наконец, последнего — не больше

В случае, когда степень этого последнего полинома достигает своего максимума и равна предпоследний полином является производной последнего, производной и т. д.

Во всех случаях можно разделить полиномов на несколько групп; в каждой группе первый полином сводится к постоянной и каждый из них является производной последующего.

Следовательно, для существования линейных интегральных инвариантов недостаточно, чтобы характеристических показателей были нулями; нужно еще, чтобы полиномов сводились к постоянным (или, что то же, чтобы эти полиномы разделялись, по меньшей мере, на групп).

Каков же тогда, с интересующей нас точки зрения, смысл уравнений (10), в которых не сводится к постоянной?

Мы определили в п. 256 интегральный инвариант, роль которого весьма важна. Этот инвариант имеет вид

где функции, алгебраические относительно х и линейные относительно дифференциалов

Подобный инвариант соответствует интегралу уравнений (2) следующего вида

где функции, алгебраические относительно х и линейные относительно .

Если в этом интеграле заменим х значениями, которые соответствуют периодическому решению, то придем к

где линейные относительно функции, коэффициенты которых — периодические функции от

Вот как можно теперь получить все соотношения вида (11), исходи из уравнений (10).

Рассмотрим два полинома первый — сводящийся к постоянной, а второй — первой степепи, причем первый является производной второго. Соответствующие уравнепия (10) запишутся

где периодичны по из них выводим

что представляет собой соотношение вида .

Заметим еще, что уравнение возведенное в квадрат, доставляет нам соотношение вида (8) и что из уравнений можно вывести соотношение вида (9), а именно:

260. Применим предыдущее к задаче трех тел и будем искать для этой задачи, каково максимальное число интегральных инвариантов различных типов, изученных в предыдущем пункте; а именно, следующих типов:

Первый тип — инварианты, линейные относительно дифференциалов Второй тип — инварианты, в которых функция под знаком интеграла является квадратным корнем из полинома второй степени относительно дифференциалов Третий тип — инварианты второго порядка, линейные относительно произведений дифференциалов Четвертый тип — инварианты вида, рассмотренного в конце предыдущего параграфа, т. е. вида

Эти различные типы инвариантов соответствуют различным типам интегралов уравнений (2) и (2а), а именно: первый тип — интегралы, линейные относительно ; второй тип — интегралы, квадратичные относительно ; третий тип — интегралы, линейные относительно определителей четвертый тип — интегралы вида

где линейны относительно .

Мы можем считать крайне правдоподобным, что все периодические решения задачи трех тел неособые.

В задаче трех тел число степеней свободы равно шести; число характеристических показателей равно двенадцати. Согласно тому, что мы видели в п. 78, среди них имеется шесть и только шесть уничтожающихся; шесть остальных попарно равны и противоположны по знаку. Следовательно, имеется шесть уравнений вида (10) и шесть полиномов из которых четыре — нулевой степени и два — степени единица. Или же иначе, имеется три пары уравнений вида четыре уравнения вида два уравнения вида

Итак, посмотрим, каково будет наибольшее число независимых инвариантов каждого типа.

Я уточняю, что я понимаю под этим; я не буду рассматривать в качестве независимых инвариантов первого типа

или инвариантов второго типа

или инвариантов третьего типа

или инвариантов четвертого типа

если между будет существовать тождественное соотношение вида

где интегралы уравнений (1).

С самого начала ясно, что нельзя получить более четырех инвариантов первого типа, т. е. более числа уравнений Эти четыре инварианта уже известны.

Нельзя получить более тринадцати инвариантов второго типа, три из которых происходили бы из трех пар уравнений вида а десять остальных получались бы при помощи возведения в квадрат четырех уравнений и их попарных произведений. Эти десять последних действительно существуют; но они не являются независимыми от четырех инвариантов первого типа, поскольку их можно вывести из них с помощью процедуры п. 245. Следовательно, здесь можно было бы иметь три новых инварианта.

Нельзя получить более одиннадцати инвариантов третьего типа, три из которых происходили бы из трех пар уравнений вида шесть получались бы попарной комбинацией четырех уравнений два — комбинацией двух уравнений с соответствующим уравнением

Семь из этих инвариантов известны; одним является инвариант из п. 255, шесть остальных — это инварианты, которые выводятся из четырех уравнений но их нельзя считать независимыми от четырех инвариантов первого типа, поскольку их можно вывести из них, пользуясь методикой п. 247.

Следовательно, здесь можно было бы иметь четыре новых инварианта третьего типа.

Наконец, нельзя получить более двух инвариантов четвертого типа, т. е. более числа уравнений

Один из этих инвариантов известен, это — инвариант из п. 256; можно было бы получить еще один новый инвариант.

Вероятно, что эти новые инварианты, существование которых не исключается предыдущим рассмотрением, не существуют; но чтобы доказать это, следовало бы обратиться к другим методам, аналогичным, например, методу Брунса.