Движение жидкости

291. Для того чтобы лучше разъяснить принцип доказательства, я возьму сначала простой пример.

Рассмотрим жидкость, заключенную в сосуде неизменной формы и заполняющую его полностью.

Пусть х, у, z - координаты молекулы жидкости, компоненты ее скорости, так что уравнения движения записываются в виде

Компоненты функции от х, у, z и t, которые я предполагаю заданными.

Я предполагаю движение установившимся, так что зависят только от х, у, z.

Так как жидкость несжимаема, то мы имеем

Другими словами, объем

— интегральный инвариант.

Изучим траекторию какой-либо молекулы; я говорю, что эта молекула пройдет бесконечно много раз сколь угодно близко от ее начального положения. Более точно, пусть какой-либо объем внутри сосуда и сколь угодно малый; я говорю, что существуют молекулы, которые пересекут этот объем бесконечное число раз.

Пусть какой-нибудь объем внутри сосуда; молекулы жидкости, которые заполняют этот объем в момент , заполнят в момент некоторый объем в момент некоторый объем в момент некоторый объем

Несжимаемость жидкости или, что то же, существование интегрального инварианта, показывает, что все объемы

равны между собой.

Пусть V — общий объем сосуда; если

то мы будем иметь

Следовательно, невозможно, чтобы все эти объемы были внешними по отношению друг к другу; необходимо, чтобы, по крайней мере, два из них, например имели общую часть.

Я говорю, что если имеют общую часть, то это же будет и для (предполагая, например, что

Действительно, пусть М — общая точка молекула, находя щаяся в точке М в момент находится в момент 0 в точке принадлежащей поскольку точка М принадлежит

Таким же образом молекула, находящаяся в точке М в момент в момент находится в точке поскольку движение установившееся; с другой стороны, она находится в момент 0 в точке принадлежащей так как М принадлежит и мы должны прийти к выводу, что принадлежит

Таким образом, имеют общие точки, что и требовалось доказать.

Следовательно, можно выбрать число таким образом, чтобы имели общую часть.

Пусть эта общая часть; построим по как мы строим по Мы сможем найти такое число чтобы имели общую часть. Пусть - эта общая часть. Мы сможем найти такое число у, чтобы имели общую часть.

И так далее.

Отсюда вытекает, что составляет часть часть часть Вообще, составит часть Когда число неограниченно возрастает, объем делается, следовательно, все меньше и меньше.

Согласно хорошо известной теореме, имеется, по крайней мере, одна точка, быть может, несколько, быть может, бесконечное множество точек, принадлежащих одновременно как велико бы ни было

Это множество точек, которое я назову Е, будет в некотором роде пределом, к которому стремится объем когда неограниченно возрастает.

Оно может состоять из изолированных точек; но оно может быть и другим; может, например, случиться, что Е — область пространства конечного объема.

Молекула, которая будет находиться внутри и, следовательно, в нулевой момент, будет находиться внутри в момент

Молекула, которая будет находиться внутри и, следовательно, в нулевой момент, будет находиться внутри в момент и, следовательно, внутри в момент Молекула, которая будет находиться внутри в нулевой момент, будет находиться внутри в момент внутри в момент — внутри в момент

Так как составляют часть эта молекула будет находиться в четыре различных момента (кратные внутри

Аналогично молекула, которая находится внутри нулевой момент, находилась внутри в предыдущих моментов (которые равны отрицательным кратным

А так как Е составляет часть как велико бы ни было отсюда следует, что молекула, которая в пулевой момент составляет часть Е, проходила через бесконечное число раз в моменты, которые все равны отрицательным кратным

Таким образом, имеются молекулы, которые пересекают объем бесконечное число раз для любого как угодно малого значения этого объема, что и требовалось доказать.

Уравнения

превращаются в

если заменить на следовательно, они сохраняют ту же форму.

Следовательно, подобно тому, как мы только что доказали, что существуют молекулы, которые пересекают бесконечное число раз до нулевого момента, мы смогли бы доказать, что имеются молекулы, которые пересекают бесконечное число раз после нулевого момента.

Предыдущее рассуждение указывает нам моменты, когда молекула, которая в нулевой момент принадлежит Е, пересекает

Будучи внутри Е и, следовательно, в нулевой момент, она будет внутри в момент

Будучи внутри Е и, следовательно, в нулевой момент, она будет находиться внутри в момент

и внутри в момент

Таким образом, она будет находиться внутри в два момента —

Поскольку она принадлежит в нулевой момент, она будет принадлежать в момент в момент мент так она пересечет в три момента

Б момент она принадлежит и, следовательно, в момент

она, таким образом, опять будет принадлежать

В итоге эта молекула должна будет пересечь в различные моменты

где коэффициент при — будет, таким образом, произвольной комбинацией чисел

Каковы же теперь среди всех этих моментов те, когда молекула будет находиться не только внутри но и внутри

Легко видеть, что достаточно взять комбинации, в которые не входит число а.

Точно так же моменты, когда молекула будет находиться внутри будут соответствовать комбинациям, в которые не входят ни число а, ни число

292. Возьмем снова объемы

Условимся говорить для краткости, что каждый из них есть последующий относительно того, который расположен перед ним в последовательности (1), и предшествующий относительно того, который расположен после него.

Точно так же будут вторым, третьим последующим объема Я могу продолжить последовательность (1) за строя последовательные последующие объема

Я могу равным образом продолжить ее налево и построить последовательные предшествующие объема

таким образом, что молекулы, которые находятся в нулевой момент в находятся в момент — и в в момент

При этих условиях, если я всегда буду обозначать через V весь объем сосуда и через к — любое целое число, и если мы имеем

то будут существовать точки, которые будут принадлежать одновременно объемам ряда (1).

Действительно, сумма объемов ряда (1) равна если бы ни одна точка не могла принадлежать одновременно более чем к этих объемов, то эта сумма должна была бы быть меньше

Таким образом, мы сможем найти в ряде (1) объемов

которые будут иметь общую часть.

Отсюда я делаю вывод, что объемов

имеют общую часть.

Пусть, например,

мы сможем найти три объема

которые будут иметь общую часть; индексы а, [3, у удовлетворяют условиям

Отсюда мы заключаем, что три объема

имеют общую часть, и что то же будет иметь место для трех объемов

или для трех объемов

293. Выше мы видели, что имеются молекулы, пересекающие бесконечное число раз до нулевого момента, и молекулы, которые пересекают бесконечное число раз после нулевого момента. Я ставлю перед собой задачу установить, существуют ли среди них такие, которые пересекают бесконечно много раз как до, так и после нулевого момента.

Пусть какой-нибудь объем; согласно предыдущему пункту, мы всегда можем найти два таких числа а и а, первое из которых отрицательно, а второе положительно, что три объема

будут иметь общую часть. Пусть эта общая часть.

Любая молекула, находящаяся в в нулевой момент, будет находиться в в три момента

Из этих трех моментов первый отрицателен, последний положителен. Наша молекула пересечет, следовательно, по крайней мере, один раз до нулевого момента и, по крайней мере, один раз после этого момента.

Поступая в дальнейшем с как с мы найдем два числа и , первое из которых отрицательно, второе положительно, такие, что три объема

будут иметь общую часть. Пусть эта общая часть.

Каждая молекула, находящаяся в в нулевой момент, будет находиться в в три момента

и, следовательно, в в пять моментов

Из этих моментов два первых отрицательны, два последних положительны.

Каждая молекула, находящаяся в в момент 0, пересечет по крайней мере, два раза до нулевого момента и, по крайней мере, два раза после этого момента.

И так далее.

Если мы построим с то увидим, что каждая молекула, находящаяся в в момент 0, пересекает по крайней мере, раз до нулевого момента и, по крайней мере, раз после этого момента.

Но составляет часть часть и так далее. Таким образом, мы будем иметь точечное множество Е (содержащее, по крайней мере, одну точку), составляющее часть всех объемов U одновременно, как бы ни было велико

Каждая молекула, которая в нулевой момент находится в Е, будет, следовательно, также находиться внутри

потому что Е — часть всех этих объемов.

Следовательно, она пересечет бесконечно много раз до момента О и бесконечно много раз после этого момента.

Таким образом, существуют молекулы, пересекающие бесконечное число раз как до, так и после нулевого момента, что и требовалось доказать.

294. Множество Е, определенное в п. 291 (так же, как и множество Е, рассмотренное в предыдущем пункте), может состоять из единственной точки (хотя, разумеется, всегда имеется бесконечное число молекул, которые пересекают бесконечно много раз).

Оно может состоять из конечного числа точек или бесконечного числа отдельных точек.

Можно предположить также, что это множество Е обладает конечным объемом; посмотрим, каковы будут следствия из этой гипотезы. Рассмотрим множество Е, определенное в п. 291.

Я рассматриваю последовательность целых чисел

определенных в этом пункте, и я утверждаю, что

Действительно, первый из последующих объема имеющий общую часть с

Объем первый из последующих объема имеющий общую часть с

Но составляет часть часть следовательно, имеет общую часть с то это значит, что один из последующих объема имеющий общую часть с Это влечет за собой неравенство

Мы найдем также

Числа следовательно, возрастают или, по крайней мере, никогда не убывают.

С другой стороны, согласно , мы имеем

Очевидно, имеем

и если Е имеет конечный объем, который я назову также Е, то, каково бы ни было

поскольку Е составляет часть

Следовательно, все числа меньше чем

Таким образом, они не могут беспредельно возрастать, и мы можем заключить, что в последовательности чисел а, начиная с некоторого ранга, все члены равны между собой.

Предположим, что начиная с ранга все члены равны

Тогда будут иметь общую часть будут иметь общую часть и т. д.

Пусть последующий Е. Е — множество точек, принадлежащих одновременно будет множеством точек, принадлежащих одновременно я могу также сказать, что Е — множество точек, которые одновременно принадлежат

поскольку каждая из областей является лишь частью предыдущей. Также множество точек, принадлежащих одновременно

Но каждый член ряда (2) является частью соответствующего члена ряда (1). Таким образом, Е — часть или же совпадает с

Но мы предположили, что Е — некоторая область пространства, имеющая конечный объем. Так как жидкость несжимаема, то последующий этой области должен быть также некоторой областью пространства, обладающей тем же объемом. Следовательно, Е не может быть частью Значит, совпадают.

Итак, если предположить, что Е — некоторая область пространства конечного объема, то необходимо допустить, что Е совпадает с одним из своих последующих.

295. Вот несколько теорем, которые почти очевидцы и формулировкой которых я ограничусь. Пусть

— те из последующих которые имеют общую часть с числа а расположены в порядке возрастания; мы будем иметь

Пусть, далее.

последующих имеющих общую часть друг с другом и с Я выбираю эти числа у таким образом, чтобы было сколь возможно малым; мы получим

Если мы вновь примем обозначения и обозначим через первый последующий, который имеет общую часть с через эту общую часть, через первый последующий имеющий общую часть с то я говорю, что если не равно а, мы будем иметь

действительно, будет иметь общую часть с