Кинетические фокусы

341. До сих пор, когда я говорил, что такой-то интеграл есть минимум, я пользовался сокращенным, но неправильным оборотом речи, который, впрочем, никого не мог ввести в заблуждение; я хотел сказать,

что первая вариация этого интеграла есть нуль; это условие необходимо для того, чтобы имел место минимум, но оно недостаточно.

Теперь мы исследуем, каково условие того, чтобы интегралы которые мы изучили в предыдущих параграфах, действительно были минимальны. Это исследование связано с трудным вопросом о вторых вариациях и с изящной теорией кинетических фокусов.

Напомним принципы этих теорий.

Пусть функции от ; пусть их производные; рассмотрим интеграл

первая вариация которого равна нулю, если считать заданными начальные и конечные значения функций

Для того чтобы этот интеграл был минимумом, требуется сначала условие, необходимое, но не достаточное, которое я назову условием . Именно, чтобы разность

рассматриваемая как функция от была минимумом [17].

Условие не является достаточным, по крайней мере, если пределы интегрирования не близки. За исключением этого случая, к нему необходимо присоединить другое условие, которое я назову условием Чтобы сформулировать его, мне необходимо сначала напомнить определение кинетических фокусов.

Чтобы

необходимо и достаточно, чтобы функции удовлетворяли дифференциальным уравнениям второго порядка, которые я назову уравнениями (67). Пусть

— решение этих уравнений.

Положим в качестве бесконечно близкого решения

и составим уравнения в вариациях, линейные уравнения, которым удовлетворяют и которые я назову

Общее решение этих уравнений будет иметь вид

Величины есть постоянных интегрирования, к есть функций от полностью определенных и соответствующих частным решениям линейных уравнений

В этих предположениях напишем, что все обращаются в нуль для двух заданных моментов получим линейных уравнений, из которых сможем исключить неизвестных

Таким образом, мы получим уравнение

где есть определитель:

величины означают результат замены в функции к на и на

Если моменты удовлетворяют уравнению мы скажем, что это два сопряженных момента и что две точки М и М пространства измерений, имеющие координатами соответственно

суть две сопряженные точки.

Если, кроме того, тот из моментов, сопряженных с который следует за и является самым близким к мы скажем, что является фокусом точки М.

Теперь мы можем сформулировать условие (В): оно состоит в требовании, чтобы между и не лежало ни одного момента, сопряженного с

Чтобы было минимумом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия и .

Отсюда можно вывести одно непосредственное следствие.

Пусть четыре момента.

Пусть соответствующие точки кривой

Предположим, что фокус фокус

Если условие выполнено, то может быть

или

или

Но неравенства

невозможны, иначе интеграл

должен был бы быть минимумом, поскольку выполнено условие , а интеграл

не был бы минимумом, поскольку условие не было бы для него выполнено.

Это невозможно, поскольку можно варьировать функции между не изменяя их в промежутке от до

Легко видеть геометрический смысл предыдущего.

Кривую в пространстве измерений

представляющую решение уравнений , можно назвать траекторией, которую я обозначу через

Кривая

представит бесконечно близкую траекторию.

Пусть через точку М проведена одна из этих траекторий , бесконечно близких к , и эта траектория снова пересекает траекторию в точке (точнее, расстояние от этой траектории будет бесконечно малой высшего порядка); точки будут сопряженными, если, кроме того, точка, которая описывает Т, проходит через М и бесконечно близко от в моменты времени

342. В случае принципа Гамильтона условие выполнено всегда; в самом деле, имеем

однородная квадратичная форма относительно

Во всех задачах динамики эта квадратичная форма является положительно-определенной.

Если мы заменим на перейдет в

а заменится на

причем

Следовательно,

откуда, наконец,

Левая часть соответствует функции

так как квадратичная форма положительно-определениа, мы видим, что это выражение является минимумом при , т. е. условие выполнено.

343. Перейдем к случаю принципа Мопертюи в абсолютном движении. Тогда изучаемый интеграл записывается в виде

где положительно-определенная квадратичная форма относительно дифференциалов

Примем на мгновение в качестве независимой переменной; интеграл примет вид

где полином второй степени Р, неоднородный (несущественно положительный) относительно Итак, пусть

Речь идет о том, чтобы узнать, является ли

минимумом при или, другими словами, положительна ли вторая производная по от корня

Но каковы бы ни были и мы будем иметь

где — независимы от вторая производная от корня тогда равна

Так как полином Р существенно положителен, то это выражение также всегда положительно, и условие выполнено всегда.

344. Перейдем к принципу Мопертюи в относительном движении. Тогда мы должны рассмотреть интеграл

или, принимая за независимую переменную,

Таким образом, необходимо исследовать вопрос о том, является ли положительной вторая производная по от

но эта производная равна

Следовательно, условие выполнено всегда.

Итак, условие выполнено само собой во всех случаях, которые нам предстоит изучить.