Гомоклинные решения

395. В конце п. 312 мы видели, что дуги пересекаются. Но дуга принадлежит кривой которая является асимптотической кривой первого семейства, а дуга составляет часть кривой принадлежащей второму семейству.

Рассуждение является общим, и мы должны заключить, что две асимптотические поверхности, которые проходят через одну и ту же замкнутую траекторию, всегда должны пересекаться вне этой траектории. Асимптотические кривые первого семейства, которые сходятся в точках периодической системы, всегда пересекают кривые второго семейства, которые сходятся в этих же самых точках.

Другими словами, на каждой асимптотической поверхности имеется, по крайней мере, одно гомоклинное двояко-асимптотическое решение; мы скоро увидим, что их имеется бесконечное множество; но мы сейчас же увидим, что их имеется, по меньшей мере, два.

Для этого вернемся к рисунку на стр. 175. Согласно рассуждениям пунктов 308 и 312, интегральный инвариант распространенный на четырехугольник должен быть нулем; именно по этой причине этот криволинейный четырехугольник не может быть выпуклым, и противоположные стороны должны пересечься. Пусть одна из точек пересечения этих двух дуг. Заметим, что точка была выбрана произвольно на асимптотической кривой если мы возьмем точку в самой точке то точка будет находиться также на кривой и совпадет с точкой Если две точки совпадут, то это же произойдет и с их пятыми последующими

Следовательно, четырехугольник сведется к фигуре, образованной двумя дугами кривой, имеющими одни и те же концы. Эта фигура не может быть выпуклой, поскольку интегральный инвариант, распространенный на четырехугольник, должен быть нулем. Следовательно, необходимо, чтобы две дуги имели еще другие общие точки кроме их концов.

Таким образом, будут, по крайней мере, две различные точки пересечения (если не считать различными точку и какую-нибудь из ее последующих).

Следовательно, всегда будет, по меньшей мере, два двояко-асимптотических решения.

Итак, предположим, что точки совпадают, и продолжим дуги до их первой точки встречи в Мы определили таким образом область, которая на этот раз будет выпуклой (с точки зрения и будет ограниченной двумя дугами, составляющими часть соответственно двух дуг и имеющими одни и те же концы, а именно: А о

Пусть эта область, а ее последующая; очевидно, область как и будет выпуклой и ограниченной двумя дугами кривой, одпа из которых первого, а другая — второго семейства.

Интеграл будет иметь одно и то же значение для Пусть это значение. Так как значение интегрального инварианта для всей полуплоскости конечно, то мы увидим, рассуждая, как в , что если

то область будет иметь общую часть, по крайней мере, с из областей

а так как можно взять сколь угодно большим, то я могу сформулировать следующий результат:

Среди областей имеется бесконечное множество таких, которые имеют общую часть с

Как может случиться, что имеет общую часть с

Область не может быть целиком внутри поскольку интегральный инвариант имеет одно и то же значение для этих двух областей. По той же причине область не может быть целиком внутри Эти две области не могут также совпасть; если бы, в самом деле, часть асимптотической кривой (например, первого семейства) совпала со своей последующей, то это же произошло бы также с ее предшествующей, сколь бы велико ни было но если велико, то эта предшествующая очень близка к периодическим точкам, и достаточно принципов главы VII, чтобы показать, что такое совнадение не имеет места.

Следовательно, необходимо предположить, что периметр области пересекает периметр но периметр состоит из дуги принадлежащей кривой первого семейства, и дуги

принадлежащей кривой второго семейства.

Аналогично, периметр а будет состоять из дуги последующей дуги которая будет принадлежать той же асимптотической кривой, что и кривой первого семейства, и дуги последующей которая будет принадлежать той же асимптотической кривой, что и кривой второго семейства.

Так как две кривые одного и того же семейства не могут пересекаться, то необходимо, чтобы дуга пересекала либо чтобы пересекала Но если две дуги пересекаются, то их предшествующие также будут пересекаться. Следовательно, необходимо, чтобы дуга пересекала последующую или предшествующую дуги

Но дуга все ее предшествующие и все ее последующие принадлежат одной и той же инвариантной кривой второго семейства, представленной на рисунке на стр. 175 совокупностью кривых

Следовательно, дуга пересекается бесконечно много раз этой совокупностью кривых.

Две поверхности Е и 2, которые проходят через замкнутую траекторию Т, имеют, следовательно, бесконечное множество других кривых пересечения.

Итак, на поверхности Е имеется бесконечное множество гомоклинных двояко-асимптотических решений, что и требовалось доказать.

396. Пусть какая-нибудь дуга асимптотической кривой пер вого семейства, и предположим, что эта дуга пересекает асимптотическую кривую второго семейства в двух крайних точках Я говорю, что между точками всегда будут другие точки пересечения с кривой второго семейства.

В самом деле, пусть дуга кривой второго семейства, соединяющая точки

Тогда либо две дуги имеют общие точки, отличные от их концов, и теорема окажется доказанной.

Либо же эти две дуги не имеют другой общей точки, кроме их концов тогда две дуги ограничивают область аналогичную той, которую мы рассмотрели в конце предыдущего параграфа; приложимы те же самые рассуждения, и мы можем заключить, что дуга пересекает бесконечно много раз кривую второго семейства.

Следовательно, на асимптотической кривой первого семейства между какими-нибудь двумя точками пересечения с кривой второго семейства имеется бесконечное множество других точек пересечения.

На любой асимптотической поверхности между двумя любыми двоякоасимптотическими решениями имеется бесконечное множество других двояко-асимптотических решений.

Мы не имеем еще права заключить, что двояко-асимптотические решения всюду плотны на асимптотической поверхности, но это кажется вероятным.

Точки пересечения двух асимптотических кривых можно разделить на две категории. В самом деле, асимптотическую кривую можно пробегать в двух противоположных направлениях; мы будем рассматривать направление как положительное, если идем от точки к ее последующей. Пусть тогда А — точка пересечения двух кривых, — две дуги асимптотических кривых, пересекающиеся в А. Предположим, что принадлежит первому, а второму семейству и что, обходя кривые в положительном направлении, мы идем из и из . В зависимости от того, будет ли направление справа или слева от точка пересечения А будет первой или второй категории.

Пусть при этих условиях дуга первого семейства, пересекаемая в дугой второго семейства. Какой бы категории ни принадлежали совокупность двух дуг образует замкнутую кривую. Если две дуги не имеют другой общей точки, кроме их концов, то эта замкнутая кривая не имеет двойной точки и ограничивает область Если бы две дуги имели другие общие точки, кроме их концов, и если бы, например, две дуги пересекались в то мы заменили бы точки и точками расположенными между а дуги двумя дугами и таким образом продолжали бы до тех пор, пока не пришли бы к двум дугам, не имеющим другой общей точки, кроме их концов.

Итак, предположим, что две дуги ограничивают область Согласно тому, что мы только что видели, дуга должна пересечь бесконечно много раз асимптотическую кривую второго семейства; следовательно, необходимо, чтобы кривая второго семейства проникала бесконечно много раз внутрь области и она должна выйти из нее бесконечно много раз. Она может войти в нее или выйти из нее, только пересекая ибо она не может пересечь дугу составляющую часть кривой также второго семейства. Но ясно, что точки, в которых она проникает внутрь области, и точки, через которые она выходит из нее, не будут принадлежать одной и той же категории.

Итак, между любыми двумя точками пересечения двух кривых имеется бесконечное множество других точек, принадлежащих первой категории, и бесконечное множество других точек, принадлежащих второй категории.

Обозначим через (1), (2), (3), . . . последовательные точки встречи кривой второго семейства и дуги отсчитанные в порядке, в котором мы встречаем их, следуя по кривой второго семейства в положительном направлении. Они будут попеременно принадлежать двум категориям. Изучим порядок, в котором мы встречаем их, следуя по дуге

Этот порядок не может быть совершенно произвольным, и некоторые последовательности исключаются, например следующие:

так же, как те же последовательности, взятые в обратном порядке, и аналогичные последовательности, в которых заменены на

397. Если попытаться представить себе фигуру, образованную этими двумя кривыми и их бесчисленными пересечениями, каждое из которых соответствует двояко-асимптотическому решению, то эти пересечения образуют нечто вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из двух кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь бесконечно много раз все петли сети.

Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся.

Остаются возможными различные предположения.

1. Можно предположить, что множество точек двух асимптотических кривых или, скорее, множество точек, в окрестности которых находится бесконечное число точек, принадлежащих т. е. множество «производное от можно предположить, говорю я, что множество занимает всю полуплоскость. Тогда следовало бы заключить о неустойчивости солнечной системы.

2. Можно предположить, что множество имеет конечную площадь и занимает конечную область полуплоскости, но не занимает ее целиком; либо, что часть этой полуплоскости остается вне петель нашей сети, либо, что внутри одной из этих петель остается «пробел». Пусть, например, одна из этих петель, ограниченная двумя или несколькими дугами асимптотических кривых двух семейств. Построим их последовательные последующие и применим к ним методику п. 291. Образуем, как на стр. 132,

Область Е, если она конечна, будет представлять один из пробелов, о которых мы только что говорили. Кажется, что можно было бы применить к ней рассуждение п. 294 и заключить, что эта область должна совпасть с одной из ее последующих. Но множество Е может состоять из области

конечной площади и множества, расположенного вне этой области, общая площадь которого равна нулю. Все, что мы можем заключить согласно изложенному на стр. 138, состоит в том, что последующая Е) содержит Е и что множество обладает нулевой площадью. Аналогично, множества Ебудут иметь нулевые площади (мы понимаем под площадью множества значение интеграла распространенного на это множество). А с другой стороны, является частью Когда неограниченно возрастает, стремится к множеству которое содержит все точки, составляющие одновременно часть всех множеств Площадь этого множества конечна и равна площади Е. Наконец, совпадает со своей последующей.

3. Наконец, можно предположить, что множество имеет нулевую площадь. Тогда это множество будет аналогичным «совершенным множествам, которые не плотны ни в одном интервале» [20].

398. Мы могли бы представить различные точки пересечения двух кривых следующим образом. Пусть переменная, которая изменяется от до когда мы следуем по асимптотической кривой первого семейства от точки до бесконечности, и увеличивается на единицу, когда мы переходим от точки к ее пятой последующей, например от (предполагая для определенности, что мы находимся в условиях рисунка на стр. 175). Пусть у — другая переменная, которая изменяется от , когда мы следуем по кривой второго семейства от точки до бесконечности, и которая увеличивается на единицу, когда мы переходим от точки к ее пятой последующей.

Различные точки пересечения двух кривых характеризуются парой значений х и у и каждая из них может быть представлена точкой на плоскости, прямоугольные координаты которой суть

Таким образом, мы будем иметь на плоскости бесконечное число точек, представляющих двояко-асимптотические решения; из каждой из этих точек можно получить бесконечное число других; в самом деле, если точка х, у соответствует пересечению двух кривых, то это же будет справедливо для точек

где целое, положительное или отрицательпое; для того чтобы найти все изображающие точки, достаточно будет найти все те, которые заключены в полосе или в полосе

Другое замечапие состоит в том, что порядок, в котором будут следовать проекции этих изображающих точек на оси х, не будет иметь никакого отношения к порядку, в котором будут следовать их проекции на оси и вот какое отсюда следствие.

Рассмотрим несколько двояко-асимптотических решений; при отрицательных и очень больших все они будут очень близки к периодическому решению и представятся в определенном порядке, причем некоторые из

них будут более близкими, а другие менее близкими к периодическому решению.

Затем все они сильно удалятся от периодического решения, потом при положительных и очень больших они снова будут очень близки к нему; но тогда они представятся в совершенно ином порядке. Если из двух решений первое ближе при к периодическому решению, чем второе, то может случиться, что при первое будет более удалено от периодического решения, чем второе, но может также случиться обратное.

Это замечание снова заставляет нас понять всю сложность задачи трех тел и то, насколько трансцендентные функции, которые необходимо придумать для ее решения, отличаются от всех тех, которые мы знаем.