Глава XXV. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Возвращение к методу Болина

273. Прежде чем идти дальше, я должен дополнить некоторые из результатов глав VII, XIX и XX. Я хочу сначала резюмировать результаты, которые я буду сравнивать друг с другом и которые послужат мне сейчас отправным пунктом.

Мы видели в главе VII, что если система

допускает периодическое решение

и если положить

то будут разложимы по возрастающим степеням

причем коэффициенты будут периодическими функциями от суть постоянные интегрирования, — характеристические показатели периодического решения (2).

Эти ряды всегда формально удовлетворяют уравнениям (1); они сходятся при определенных условиях, которые мы высказали в п. 105.

Имеется исключение в случае, когда между показателями а существует соотношение вида:

где коэффициенты целые, положительные или нули, коэффициент — целый, положительный или отрицательный (ср. , стр. 290, строка ; записывая это соотношение, я предполагаю, что единица времени была выбрана таким образом, чтобы период решения (2) был равен

Если имеется соотношение вида (4), то не будут более разложимы по степеням количеств (3), а разлагаются по степеням этих количеств и

Это как раз и происходит, если уравнения (1) имеют каноническую форму уравнений динамики.

Действительно, в этом случае два показателя — нули, а остальные попарно равны и имеют противоположные знаки.

В случае уравнений динамики [или в более общем случае, когда имеется соотношение вида (4)], мы опять-таки смогли получить известный результат; достаточно было придать постоянным интегрирования А частные значения таким образом, чтобы обратить в нуль те из них, которые соответствуют нулевому показателю, и одну из тех двух постоянных, которые соответствуют каждой паре показателей, равных и противоположных по знаку. [Более общо: мы уничтожим постоянную А, соответствующую одному из показателей, входящих в соотношение вида (4), таким образом, чтобы между показателями, соответствующими постоянным А, которые отличны от нуля, не существовало соотношения этого вида].

Например, если

то положим

Тогда опять будут разложимы по степеням тех количеств (3), которые отличны от нуля; только теперь мы не будем иметь больше общего решения уравнения (1), а получим частное решение, зависящее от меньшего чем (a именно, в оощем случае уравнении динамики) числа произвольных постоянных.

Вот каким образом мы пришли к асимптотическим решениям: мы исходили из уничтожения определенного числа постоянных А, не только тех, которые приравняли нулю по причине, о которой я только что говорил, но и тех, которые мы должны уничтожить, чтобы удовлетворить условиям сходимости п. 105.

Я не занимаюсь в настоящий момент разложением по степеням или

В главе XIX я изучил метод Болина, который, в сущности, является только приложением метода Якоби, поскольку задача сведена к разысканию функции удовлетворяющей уравнению в частных производных. Только эта функция берется в виде, который специально приспособлен к случаю, когда между средними движениями имеется приближенное линейное соотношение с целыми коэффициентами. Случаи, которые должны нас интересовать больше всего, близки к тому, который я назвал предельным случаем (п. 207). Мы видели в этом параграфе, что функция разложима по степеням в виде

и что

периодична с периодом относительно

(если принять обозначения упомянутого параграфа).

Но результаты могут быть упрощены заменой переменных, изложенной в пунктах 209 и 210.

Я определил в п. 206 функций

периодических относительно переменных

эти функции я рассматривал как обобщения периодических решений. Мы положили затем в п. 210

С новыми переменными уравнения сохраняют каноническую форму; только новые уравнения будут допускать следующие инвариантные соотношения:

которые можно рассматривать как обобщения периодических решений для новых уравнений, так же как

— для старых.

Мы можем, следовательно, без ограничения общности предположить, что канонические уравнения допускают в качестве инвариантных соотношений

Если это так, то мы видели в , что является простым нулем для производных и двойным нулем для производных

Таким образом, или точнее может разлагаться по степеням и разложение будет начинаться с члена второй степени; мы будем иметь

где — ряды, зависящие от и разложенные по степеням кроме того, мы видим, что — периодические функции от Но этого, к сожалению, для нашей цели недостаточно.

Функция определенная уравнением (5), зависит, в действительности только от произвольных постоянных

в то время как для полного решения задачи их необходимо иметь

Для более углубленного исследования обратимся к замене переменных . Если примем обозначения этого параграфа, т. е. если положим

если определим, как в упомянутом параграфе, переменные функции , то производные будут периодическими функциями [ср. т. II, стр. 645. ]

Исследуем более подробно уравнения в начале стр. 646 (т. II), которые записываются в виде

затем, считая постоянными, рассмотрим, как в названном параграфе, уравнения

Если мы заставим меняться точка опишет кривую, которую я хочу изучить. Предположим, что мы, не меняя постоянных заставим меняться получим бесконечное множество кривых, соответствующих различным значениям

Выше мы предположили, что имеем инвариантные соотношения

которые являются как бы обобщением периодических решений.

Этим соотношениям будет соответствовать точка

т. е. начало координат. Именно в окрестности этой точки я буду изучать наши кривые.

Дадим значение, которое соответствует частной функции определенной уравнением (5); получим

Следовательно, соответствующая кривая проходит через начало; мы получили бы вторую кривую, проходящую через начало, заменяя на Следовательно, имеем две кривые, пересекающиеся в начале; другие кривые смогут пройти вблизи начала, не достигая его и не пересекаясь друг с другом; множество кривых будет напоминать по своему общему виду в непосредственной окрестности начала фигуру, образованную рядом гипербол, имеющих одни и те же асимптоты, и их асимптотами.

274. Для того чтобы лучше изучить эти кривые и соответствующие функции ограничимся сначала случаем, когда имеются только две степени свободы.

Допустим, что мы сделали замену переменных п. 208, так что

— периодическое решение; это означает, что для

имеем

Разложим F по возрастающим степеням Член степени будет зависеть только от и так как мы должны иметь

то он сведется к постоянной. Так как F определена лишь с точностью до постоянной, то можно предположить, что этот член нулевой степени есть нуль.

Будем искать члены первой степени; так как

то не будет других членов первой степени, кроме члена с

Положим теперь

Мы видим, что F делится на и что если положить

то уравнения сохранят каноническую форму и станут

Кроме того, F будет разлагаться по степеням в виде

с другой стороны, F будет разлагаться по степеням причем коэффициенты будут периодическими функциями от Наконец,

где периодические функции

Применим сейчас к нашим уравнениям один метод, аналогичный методу Болина, в котором параметр будет играть ту же роль, которую в главе XIX играл параметр

Отбросим штрихи, ставшие ненужными, и будем писать вместо

Прежде всего, я утверждаю, что всегда можно предположить

Если бы, в самом деле, это было не так, то я взял бы за новые переменные

Каноническая форма уравнений не изменилась бы, поскольку

— полный дифференциал.

Сверх того, увеличивается на постоянную, когда увеличивается на я всегда могу выбрать единицу времени таким образом, чтобы эта постоянная была равна Тогда всякая периодическая функция от периодом будет периодической функцией от у с периодом Итак, вид функции F не изменится; лишь первый член сведется к Итак, предположим

Я утверждаю затем, что можно предположить

В самом деле, образуем канонические уравнения (1), предполагая получим

и одно уравнение относительно которое я могу заменить уравнением живых сил

Уравнения

— линейные с периодическими коэффициентами. В силу п. 29 они будут иметь общее решение

где периодические функции постоянные интегрирования; постоянные.

Легко видеть, что и что — постоянная, которую я могу предположить равной 1.

При этих предположениях совершим новую замену переменных, полагая

где функции выбранные таким образом, чтобы каноническая форма уравнений не изменилась. Для этого достаточно, чтобы

было полным дифференциалом.

Но мы видим, что равно полному дифференциалу, увеличенному на

где означают производные от по

Следовательно, для того чтобы каноническая форма уравнений не изменилась, достаточно взять

Мы видим, что периодические функции откуда следует, что вид функции F также не изменится.

Но если мы предположим то уравнения должны допускать в качестве решения

откуда

Можно, следовательно, без ограничения общности предположи:

откуда (поскольку мы убрали штрихи)

Это мы будем делать впредь.

Совершим еще одну замену переменных, полагая

Так как

— полный дифференциал, то каноническая форма не изменится.

Кроме того, получаем

Тогда функция F разлагается по степеням

Кроме того, имеем

Итак, возьмем F в виде

и определим функцию уравнением Якоби

где С — постоянная. Разложим по степеням

Для определения получим следующие рекуррентные уравнения:

Я обозначаю, как это уже делал много раз, всякую известную функцию через во втором уравнении (2) я считаю известным; в третьем считаю и известными и т. д.

Положим

при условии

Так как произвольно, то обе постоянные могут быть выбраны произвольно. Однако важно не брать Вот почему. Предположим, что мы доказали, что

разложимо по степеням

мы сможем (если не нуль) заключить отсюда, что то же будет и для

поскольку подкоренное количество сводится к при Если бы было нулем, мы не смогли бы сделать этот вывод; однако нам важно прийти к такому выводу из-за присутствия радикала

Рассмотрим теперь второе уравнение (2). Функция Ф, входящая в него, аависит от и и и имеет вид

Коэффициенты А суть постоянные, могущие зависеть от и (30. Индексы могут принимать все целые значения — положительные, отрицательные или нулевые. Для ясности я выделяю из-под знака 2 член, в котором эти два индекса — нули.

Тогда второе уравнение (2) дает

при условии

За исключением этого условия, постоянные произвольны; я могу предположить, следовательно, что

Я определяю третьим уравнением (2); это уравнение имеет совершенно тот же вид, что и второе, и решается таким же образом и т. д. В результате производные разлагаются по степеням

Если сравнить этот анализ с проведенным в п. 125, то видно, что между ними имеется аналогия. Только вместо того, чтобы иметь лишь мнимые показательные функции

мы имеем здесь вещественные показательные функции

275. Коль скоро функция определена, мы можем, применяя метод Якоби, прийти к рядам, аналогичным рядам .

Функция зависит от и двух постоянных Постоянная живых сил

есть функция

Тогда мы имеем в качестве решения канонических дифференциальных уравнений следующие уравнения:

где две новые постоянные интегрирования. Прежде всего, я вижу, что которые зависят, между прочим, от разложимы по степеням

С другой стороны, можно разложить по степеням и при я имею, в качестве первого приближения

Мы имеем четыре уравнения, из которых можно найти и и, разложенные по степеням и зависящие, кроме того, от

С помощью рассуждения, совершенно аналогичного проведенному в: , мы увидели бы, что

разложимы по степеням

Кроме того, то же будет для

Я мог бы даже добавить, что все эти количества разложимы по степеням

в самом деле, разлагается по степеням

Если мы положим на мгновение

то два уравнения

примут вид

причем разлагаются по степеням

[в самом деле, мы имеем, например,

и аналогичные формулы для ]

Тогда для доказательства высказанного предложения достаточно приложить к уравнениям (3) теорему п. 30.

Сравним теперь полученный результат с результатом главы VII, который я упоминал в начале настоящей главы.

В главе VII мы видели, что в окрестности периодического решения

переменные разлагаются по степеням

где — постоянные интегрирования; абсолютные постоянные, зависящие только от периода периодического решения и его характеристических показателей.

Мы только что видели, что эти же переменные должны разлагаться по степеням

Очевидно, оба результата находятся в согласии; действительно, можно сначала положить

С другой стороны, постоянные, которые разлагаются по степеням и сводятся к для

Тогда мы можем, например, написать

а затем разложить второй сомножитель по степеням ; тогда этот второй сомножитель окажется разложенным, кроме того, по степеням

Вот почему мы видели в главе VII, что время и его степени выходят из-под знаков показательной и тригонометрических функций, что могло в определенных случаях создать трудность; предыдущий анализ показывает, что эта трудность была чисто искусственной.

Если я хочу теперь сравнить наш результат с результатами главы XIX, я рассмотрю кривые

определение которых я упоминал в конце п. 273. Для того чтобы получить уравнения этих кривых, я должен только взять выражения и дать в них величинам постоянное значение. Тогда и разлагаются по степеням

Изменяя мы видим, что кривые имеют форму, которую я описал в конце п. 273.

В заключение я напомню, что все результаты верны лишь с формальной точки зрения; ряды сходятся только в случае асимптотических решений, уравнения которых получаются, если положить

что означает

или же если положить

что означает

где конечные постоянные.

276. Перейдем к случаю, когда имеется более двух степеней свободы. Предыдущие результаты могут быть обобщены двумя различными способами.

Для того чтобы пояснить это, нам достаточно предположить три степени свободы. Может оказаться, что мы хотим изучить уравнения в окрестности системы инвариантных соотношений

играющих роль обобщения периодических решений в смысле п. 209.

Может оказаться также, что мы хотим их изучить в окрестности истинного периодического решения

В первом случае имеется четыре инвариантных соотношения и одно линейное соотношение между средними движениями, соотношение, которое мы взяли, употребляя в случае надобности замену переменных п. 202, в виде

Во втором случае имеется пять инвариантных соотношений и два линейных соотношения между средними движениями, которые мы взяли в виде

Начнем с первого случая и положим

уравнения остаются каноническими, становится разложенной по степеням в виде

К тому же имеем

или, отбрасывая штрихи, ставшие ненужными,

Функции зависят только от и периодичны по этим двум переменным с периодом

Я произведу сейчас снова замены переменных п. 274; все, что я сказал там о них, остается верным, но только с формальной точки зрения.

Для того чтобы применить принципы формального вычисления, необходимо, чтобы имелся параметр, по степеням которого выполняются разложения. Здесь это будет параметр

В самом деле, F и, следовательно, разлагаются по целым степеням . Я добавляю, что при обращаются в 0 и что сводятся к постоянным, которые я называю

Постараемся проинтегрировать следующие уравнения:

Я стремлюсь выполнить интегрирование таким образом, чтобы

были периодическими функциями с периодом от двух новых переменных которые сами должны иметь вид

постоянные, разлагающиеся по степеням постоянные интегрирования.

Тогда уравнения (1) принимают вид

Положим

и предположим, что постоянные; что периодические функции сводятся, как мы это видели, к постоянным) и, наконец, что периодические функции за исключением которые сведутся к

Приравняем в уравнениях (2) коэффициенты при одинаковых степенях и получим последовательность уравнений, которые позволят определить одни за другими.

Эти уравнения записываются так:

Я обозначаю через Ф всякую известную функцию; во втором уравнении я считаю известными в третьем — и так далее.

Сначала мы имеем

так что уравнения (3) приводятся к

к которым необходимо присоединить уравнения

выведенные из второго уравнения (2), как уравнения из первого уравнения (2).

Все эти уравнения будут интегрироваться одним и тем же способом; возьмем, например, первое уравнение Функция Ф, которая входит в него (как, впрочем, все другие функции Ф), периодична по Приравняем среднему значений этой функции и нам будет легко затем, пользуясь методикой, которую мы применяли уже столько раз, удовлетворить уравнению функцией периодичной по Определив таким образом в функции я полагаю

Ясно, что выражение

равное нулю, есть полный дифференциал и, следовательно, каноническая форма уравнений не изменится, когда мы возьмем за новые переменные вместо

Вид функции F также не изменится, но мы видим, что имеем тождественно

что показывает, что коэффициенты при сводятся к постоянным. Итак, я всегда могу предположить, что постоянные.

Это я и буду делать впредь.

Пусть теперь необходимо проинтегрировать уравнения

или, что то же [7]

Постараемся удовлетворить этим уравнениям, полагая

где а — постоянная, периодические функции

У равнения станут

Разложим А, В, С по степеням в виде

Заметим, что постоянная и что Разложим таким же образом

Коэффициенты этих разложений — известные количества. Разложим, с другой стороны, неизвестные и а по возрастающим степеням в виде

Чтобы представить уравнения в более симметричной форме, я запишу разложение А в виде

Надо будет только помнить, что нули. То же — для разложений .

При этих предположениях я приравниваю в уравнениях коэффициенты при одинаковых степенях Я назову два уравнения, полученные приравниванием, с одной стороны, коэффициентов при - в первом уравнении и, с другой стороны, коэффициентов при во втором уравнении

Уравнения определят уравнения определят уравнения определят и так далее.

Я хочу показать, что уравнения определят с точностью до постоянной, что они определят и завершат определение

и которые нам стали известны из только с точностью до постоянной.

Если мы вспомшш, что

то увидим, что уравнения записываются

уравнения записываются

уравнения записываются

[Буквы Ф означают известные функции, периодические по которые равны нулю в уравнениях но которые я, тем не менее, записываю, поскольку они появятся в последующих уравнениях. Уравнения показывают нам, что постоянные. Перейдем затем к уравнениям и приравняем средние значения обеих частей; получим

что определяет мы находим для два значения, равные по величине и противоположные по знаку. Уравнения определяют затем с точностью до постоянной которые суть периодические функции Следовательно, можно считать известными

Перейдем к уравнениям и приравняем средние значения обеих частей; получим два уравнения, из которых можно будет найти

Так как средние значения обеих частей равны, то уравнения дадут с точностью до постоянных в виде периодических функций

И так далее.

Так как мы нашли для два значения, то уравнения допускают два решения. Пусть

— эти два решения. Общее решение уравнений (4) будет

Мы всегда можем предположить

Тогда, как в п. 274, мы увидели бы, что если положить

и если подходящим образом выбранные периодические функции то каноническая форма уравнений не изменится.

Вид F также не изменится, но В сведется к постоянной, к 0. Итак, всегда можно предположить

Остальные вычисления завершаются, как в пунктах 274 и 275, и мы окончательно приходим к следующему заключению:

Переменные могут разлагаться по степеням трех постоянных

Сами постоянные также разложимы по степеням

277. Перейдем ко второму приему обобщения и предположим, что мы хотим изучить уравнения в окрестности истинного периодического решения, взятого в виде

Положим

откуда

Уравнения остаются каноническими, и мы имеем

где Ф — однородная квадратичная форма от коэффициенты формы периодические функции от

Мы отбросим впредь штрихи, ставшие ненужными, и просто запишем

Так же, как и в пунктах 274 и 276, мы доказали бы, что всегда можно предположить, что сводится к постоянной.

Рассмотрим теперь уравнения

Они линейны и имеют периодические коэффициенты. Их общее решение будет, следовательно, иметь вид:

А — постоянные интегрирования, периодические функции

Легко проверить, что выражение

— нуль, за исключением двух следующих случаев:

В этих двух случаях это выражение сводится к постоянной, которую я могу предположить равной 1.

Положим теперь

Тогда мы видим, что

где однородная квадратичная форма относительно коэффициенты которой есть периодические функции

Тогда, если мы положим

выражение

будет полным дифференциалом, а каноническая форма уравнений не изменится.

Вид функции F не изменится, только сводится к

где постоянные.

Если бы мы положили затем

то вычисления завершились бы, как в пунктах 275 и 276; мы пришли бы к следующему заключению:

разлагаются по степеням трех постоянных

Сами показатели разлагаются по степеням Это обобщение тотчас прилагается, когда имеется степеней свободы; первый случай — случай предыдущего параграфа — соответствует тому, когда имеется инвариантных соотношений и единственное линейиое соотношение между средними движениями. Это — случай, которым мы. занимались в главе XIX.

Второй случай — случай настоящего пункта — соответствует тому, когда имеется инвариантных соотношений, определяющих

истинное периодическое решение, и когда имеется линейных соотношений между средними движениями. Это — случай асимптотических решений, которые занимали нас в главе VII.

Однако имеются промежуточные случаи, когда мы имеем инвариантных соотношений и линейных соотношений между средними движениями. Тогда могут разлагаться по положительным или отрицательным степеням вещественных и мнимых показательных функций [8].