Приложение к асимптотическим решениям

272. Применим еще эти принципы к асимптотическим решениям. Возьмем за переменные координаты и

Рассмотрим инвариант

мы знаем, что если С — постоянная живых сил и если значения этой постоянной на двух концах линии интегрирования, то будем иметь

Если рассмотреть систему асимптотических решений, то она представится в следующем виде: будут разложены по степеням

аричем коэффициенты будут периодичны по и

суть произвольных постоянных.

Если эти значения х. и у. подставить в уравнение живых сил, то левая часть окажется разложенной по степеням

причем коэффициенты будут периодичны по а так как она не должна зависеть от то отсюда вытекает, что она не будет зависеть также и от

Следовательно, если мы подставим значения и у. в уравнение (1), то получим

и, следовательно,

В J выражение под знаком интеграла оказывается разложенным по степеням

причем коэффициенты периодичны по оно зависит линейно от дифференциалов

Следовательно, мы должны иметь

Левые части уравнений (2) оказываются разложенными по степеням все члены этого разложения должны быть нулями, кроме свободного члена. Таким образом, получаем множество соотношений между коэффициентами разложения по степеням

Я ограничусь в качестве примера рассмотрением первого члена и напшпу

где периодичны по

Отсюда выводим

означают производные от

Тогда, пренебрегая все время членами с и т. д., получим

Следовательно,

что дает первое соотношение между коэффициентами и Соотношение

доставит другое, которое, однако, в действительности не будет отличаться от первого, так как, комбинируя его с этим первым соотношением, мы нашли бы уравнение, которое является непосредственным следствием принципа живых сил.