Связь с интегральными инвариантами

278. Итак, предположим, что канонические уравнения

допускают периодическое решение следующего вида:

где постоянная интегрирования; и пусть Т — период, так что и разлагаются в ряды по синусам и косинусам кратных .

Рассмотрим решения, близкие к этому периодическому решению; они могут быть, согласно предыдущему, взяты в следующем виде: будут расположены по степеням попарно сопряженных количеств, которые я обозначу

произвольные постоянные интегрирования; сами показатели а могут разлагаться по степеням

Кроме того, коэффициенты разложения периодические функции с периодом Т. Эти коэффициенты (так же, как и показатели а) - зависят, помимо того, от постоянной живых сил С.

Мы знаем, что существует интегральный инвариант

откуда вытекает, что если — две постоянные интегрирования, мы должны иметь

Мы сможем написать это уравнение в другой форме; предположим, что мы даем Р приращение и что отсюда для получаются приращения

Предположим, с другой стороны, что мы даем приращение и что отсюда для получаются приращения

Наше уравнение запишется в виде

Правая часть — постоянная; я хочу сказать, что это — функция постоянных интегрирования, умноженная на

Но мы, очевидно, имеем

С другой стороны,

Мы видим, таким образом, что имеют следующий вид:

где линейны относительно и с другой стороны, они разлагаются по степеням и по синусам и косинусам кратных Мы легко найдем выражения достаточно заменить на в выражениях Мы видим, что уравнение (3) можно написать в виде

где

разлагаются по степеням и по синусам и косинусам кратных и, с другой стороны, билинейны относительно

Так как левая часть должна быть независимой от мы будем иметь прежде всего

что уже доставляет определенные контрольные соотношения, которым должны удовлетворять разложения

Далее, D должно быть независимым от следовательно, оно будет линейным относительно следующих определителей:

(или относительно аналогичных определителей, выведенных из первых перестановкой или ).

Коэффициенты будут разложены по степеням и зависеть, кроме того, от С.

В самом деле, время должно исчезнуть. Показательные функции должны, следовательно, исчезнуть; это может произойти только, если каждый множитель умножен на или на или на Отсюда можно вывести новый ряд контрольных соотношений.

279. Среди показателей одни мнимые, другие вещественные; среди последних одни положительны, другие отрицательны. Но так как из двух равных показателей противоположного знака я могу произвольно выбрать тот, который называю то я не ограничу общности, предполагая, что положительно, если оно вещественно.

Теперь обратим в пуль коэффициенты которые соответствуют мнимому или положительному показателю.

Тогда, если вещественно, будем иметь

и, если мнимое,

Кроме того, я положу

где С — значение постоянной живых сил, которое соответствует рассматриваемому периодическому решению.

Тогда наши ряды становятся сходящимися и представляют асимптотические решения, которые мы изучили в главе XII. Они содержат в качестве произвольных постоянных которые соответствуют отрицательным показателям.

Следовательно, мы будем иметь равенств, которые выразят в функции и этих постоянных Если из этих равенств мы исключим получим определенное число инвариантных соотношений между

Если множество значений рассматривать как точку в пространстве измерений, то эти инвариантные соотношения представляют определенное многообразие V этого пространства; я назову это асимптотическим многообразием.

Возьмем снова интегральный инвариант

и распространим интегрирование на часть этого асимптотического многообразия V.

Другими словами, предположим, что все системы значений которые входят в область интегрирования, удовлетворяют инвариантным соотношениям.

Я говорю, что интегральный инвариант будет нулем.

Мне достаточно доказать, что

а это очевидно, ибо мы имеем

откуда

что показывает, что все выражения (4) обращаются в нуль. Равным образом мы смогли бы сделать

Мы получили бы новый ряд асимптотических решений и, следовательно, новое асимптотическое многообразие, к которому прилагались бы те же заключения.

То, что мы сделали для инварианта (2), можно было бы сделать для любого билинейного инварианта (инварианта третьего типа п. 260), т. е. вида

где В — функция и где под знаком один или два из дифференциалов могут быть заменены на или

Выражение

снова было бы линейным относительно количеств (4). Это применимо также к квадратичному инварианту (инварианту второго типа п. 260) вида

где В — функция где под знаком один или два из дифференциалов могут быть заменены на

Мы можем увидеть, что выражение

должно быть линейным относительно выражений

и тех, которые можно вывести из них перестановкой

Для всякого асимптотического многообразия как инвариант (5), так и инвариант (6) должны обратиться в нуль.