Примеры гетероклинных решений

403. Попытаемся перейти к обобщению и положим

функция функция х и у; кроме того, эти две функции периодичны как по х. так и по у.

Рассмотрим кривые

где мы будем считать параметром, и у — координатами точки.

Среди этих кривых наше внимание должны привлечь именно те, которые имеют двойные точки. Эти двойные точки действительно соответствуют периодическим решениям канонических уравнений, когда мы предполагаем, что равно нулю, сводится к

Мы имеем кривых (1), общее уравнение которых есть

и которые зависят от двух параметров

Я только что сказал, что наиболее интересными являются те, которые имеют двойную точку, особенно в случае, когда какие-нибудь из этих кривых имеют две или несколько двойных точек. Тогда мы действительно встретим гетероклинные решения.

Как в , попытаемся построить функцию Якоби и положим

Функция получается немедленно; мы будем иметь

где функция от у, определенная уравнением (1) и зависящая от двух параметров

Затем мы находим

мы считаем постоянной и заменяем в них его значением, полученным из уравнения (1). Следовательно, уравнение (2) — линейное уравнение относительно производных от коэффициенты которого являются заданными функциями от а; и у, зависящими, кроме того, от параметров

Так как функция периодична по х, то я положу

где так же, как и производные от зависит только от у.

Я полагаю также

и функция будет задана уравнением

коэффициенты которого являются заданными функциями от у.

Очевидно, можно проинтегрировать это уравнение в квадратурах.

Попытаемся определить этим путем наши асимптотические поверхности. Сначала мы должны выбрать постоянные так, чтобы кривая (1) имела двойную точку; я предположу, кроме того, что эти постоянные та ковы, что каждому значению у соответствуют два вещественных значения (что имеет место в примере .

Эти два значения являются периодическими функциями у, которые становятся равными друг другу в двойной точке, например при

Мы можем так же, как это делали в , считать эти два значения аналитическим продолжением друг друга.

Тогда функция оказывается однозначной по у и периодической с периодом подобно

Эта однозначная функция будет принимать одно и то же значение при

Если бы вместо одной двойной точки мы имели несколько, то мы снова смогли бы считать однозначной функцией у с периодом 4 и, если бы число двойных точек было нечетным. Если бы, наоборот, это число было четным, то мы имели бы для два значения, которые не менялись бы ролями, когда у увеличивается на и которые, следовательно, можно было бы рассматривать как две различные однозначные функции от у, имеющие период

Для определенности будем предполагать, что мы имеем две двойные точки, соответствующие значениям переменной у.

Отсюда вытекает, что при и при уравнение (1) должно иметь двойной корень, поскольку два значения совпадают, и, следовательно, производная должна обратиться в нуль.

Уравнение (3) является линейным уравнением с правой частью, интегрирование которого сводится к интегрированию уравнения без правой части и, следовательно, к интегрированию уравнения

откуда

Функция 0, определенная таким образом, является голоморфной функцией у для всех вещественных значений этой переменной, за исключением значений которые соответствуют двойным точкам. Для этих значений функция 0, играющая роль, аналогичную роли в п. 226, обращается в нуль или бесконечность.

Затем мы находим

где постоянная интегрирования, откуда

Чтобы найти уравнения асимптотических поверхностей, мы напишем

приписывая постоянным интегрирования надлежащие значения.

Сначала пренебрежем мы примем, следовательно, и дадим постоянным значения, соответствующие кривой, имеющей две двойные точки.

С этим приближением дифференциальные уравнения допускают в качестве периодических решений

где координаты двух двойных точек.

Для представления наших асимптотических поверхностей мы можем взять точку четырехмерного пространства, координаты которой где а и две положительные постоянные, достаточно большие, чтобы можно было рассматривать только положительные значения

Тогда уравнения (5) и (6) представляют две замкнутые кривые этого четырехмерного пространства, соответствующие двум периодическим решениям.

Через каждую из этих кривых проходят две асимптотические поверхности одна первого, другая — второго семейства.

Но с принятой степенью приближения, т. е. если мы пренебрегаем эти четыре асимптотические поверхности попарно совпадают.

В самом деле, уравнениями асимптотических поверхностей будут

Как мы видели, уравнение допускает два корня, которые сливаются при при которые не меняются ролями, когда у увеличивается на которые периодичны по у с периодом Пусть

эти два корня; таким образом, уравнения наших асимптотических поверхностей принимают вид

Но для того чтобы уточнить значение этих уравнений, мы будем различать несколько ветвей наших поверхностей. Мы имеем четыре асимптотические поверхности; каждая из них проходит через одну из кривых (5) или (6) и делится этой кривой на две ветви, которые я обозначу следующим образом:

Поверхность первого семейства, проходящая через кривую (5), будет разделена на две ветви и

Поверхность второго семейства, проходящая через кривую (5), будет разделена на две ветви .

Поверхность первого семейства, проходящая через кривую (6), будет разделена на две ветви

Поверхность второго семейства, проходящая через кривую (6), будет разделена на две ветви

Тогда, с принятой степенью приближения, уравнения этих ветвей будут иметь вид:

Мы видим, что с этой степенью приближения две поверхности сливаются, как и две поверхности

Итак, перейдем к следующему приближению и возьмем:

Чтобы завершить определение надо выбрать постоянные

Для ветвей и мы должны выбрать эти постоянные таким образом, чтобы функции были регулярны при достаточно сослаться на анализ на стр. 735 II тома, чтобы понять, что это условие достаточно, чтобы полностью определить эти постоянные. Я назову функцию определенную таким образом.

Для ветвей мы выберем таким образом, чтобы функции были регулярны при и назовем функцию определенную таким образом.

Для ветвей мы выберем так, чтобы были регулярны при для ветвей и функции должны быть

регулярны при Мы обозначим через и две функции определенные таким образом.

Итак, уравнения четырех поверхностей принимают вид

Но важно отметить, что функция например, регулярная при перестает быть регулярной при отсюда вытекает, что наши уравнения становятся непригодными даже в качестве первого приближения, как только мы пройдем значение

Для большей доходчивости я ограничусь следующим замечанием:

Пусть — два таких значения у, что

Пусть точка асимптотической кривой, соответствующая значению пусть ее последующая; я предполагаю, что мы берем достаточно большим, чтобы соответствующее значение у было больше .

Значение, которое следует приписать очевидно, зависит от и неограниченно возрастает, когда стремится к нулю.

Вот, вообще говоря, значения у, при которых наши уравнения могут служить первым приближением:

Если поверхности например, пересекаются, то пересечение будет соответствовать гетероклинному двояко-асимптотическому решению, которое при будет очень близким к периодическому решению (5), а при очень близким к периодическому решению (6).

Для исследования этого пересечения сопоставим уравнения и

очевидно, пересечение будет задано уравнением

Разность является функцией от х и у, разложимой по целым положительным и отрицательным степеням

Нам важно, что это периодическая функция от следовательно, она допускает по меньшей мере один максимум и один минимум; таким образом, уравнение (9) допускает, по меньшей мере, два решения, что сводится к утверждению, что имеется, по меньшей мере, два гетероклинных решения.

Мы доказали бы также, что имеется два решения, соответствующих пересечениям поверхностей два решения, соответствующих поверхностям и два — поверхностям

Предыдущий анализ не дает гомоклинных решений.

404. Возьмем, например,

Периодические решения (5) и (6), к которым стремятся гетероклинные решения при тогда суть

Мы заметим, что при функция F сводится к Следовательно, при функция F зависит только от переменных первого ряда идипе зависит от переменных второго ряда х и у. Таким образом, функция F имеет форму, рассмотренную в пунктах 13, 125 и т. д.

Однако мы не ограничимся этим примером, который доказывает, что канонические уравнения вида, рассмотренного в , могут допускать гетероклинные решения.

В самом деле, оба решения (5) и (6) соответствуют одному и тому же значению количеств а именно:

Но эти величины являются не чем иным, как числами, названными выше

Следовательно, мы видим, что существуют двояко-асимптотические решения, которые при и при неограниченно приближаются к двум различным периодическим решениям; но эти два периодических решения соответствуют одним и тем же значениям чисел

Итак, я сейчас построю другой пример, в котором мы увидим уравнения той же формы, что и до п. 13, которые обладают двояко-асимптотическими решениями, неограниченно приближающимися к двум периодическим решениям, которые не только различны, но и соответствуют различным значениям отношения

Я смогу показать, что эти решения существуют для значений близ к единице, но, к сожалению, я еще не в состоянии установить, что они существуют также при малых значениях

405. Мы возьмем две пары сопряженных переменных

или

полагая

Эта замена переменных не меняет канонической формы уравнений. Мы возьмем

Предположим, что функция, голоморфная по не завися от что при мы имеем

и что при мы имеем

я предполагаю, что величина .

Из этих предположений вытекает, что если положить откуда то наши уравнения будут допускать два замечательных периодических решения.

Первое решение, которое я назову а, запишется в виде:

Второе, которое я назову а, запишется:

Первое решение соответствует второе эти два периодических решения не соответствуют, следовательно, одному и тому же значению отношения

Для определения я полагаю

приписывая переменной существенно положительное значение.

Затем я предполагаю, что (если очень малое положительное количество) мы имеем при

где функция от регулярная для всех вещественных значений периодическая с периодом и, наконец, обращающаяся в нуль вместе со своей производной при и при

Так как функция (1) была бы бесконечной при т. е. при то я предположу, что при функция принимает произвольные значения, однако так, что она остается конечной и непрерывной, как и ее производные первых двух порядков.

Легко проверить, что при т. е. при наши уравнения также допускают два периодических решения а и а; для первого из этих решений мы имеем для второго —

Отсюда мы сразу же заключаем, что для всех значений наши уравнения будут допускать эти два периодических решения.

406. Сейчас мы проинтегрируем наши уравнения в случае (по крайней мере в предположении, что всегда остается

Если бы мы предположили сначала, что то встретились бы с задачей центральных сил, и интегрирование выполнялось бы без труда. Оно будет ничуть не труднее и в общем случае.

В самом деле, метод Якоби приводит к уравнению в частных производных

где постоянная. Положим

где k — вторая постоянная, и мы получим

Таким образом, общее решение наших уравнений имеет вид

где — две новые постоянные.

Мы найдем наши два периодических решения а и а, давая постоянным частные значения

Предположим, что мы хотим воспользоваться уравнением (2), чтобы определить в функции если мы дадим постоянным к и Означения, близкие к нулю , то будет периодической функцией Мы положим

где число выбрано так, чтобы было периодической функцией от с периодом Это число которое является чем-то вроде среднего движения, будет, естественно, зависеть от постоянных

Аналогично, будет периодической функцией от и.

При мы имеем просто

407. Итак, мы имеем два периодических решения а и а, которые представлены двумя замкнутыми кривыми, если мы условимся рассматривать величины как координаты точки четырехмерном пространстве. Через каждую из этих кривых проходят две асимптотические поверхности, одна — первого, другая — второго семейства; мы увидим сейчас, что эти четыре поверхности попарно сливаются, как это имело место в п. 403 [уравнение (7)] при пренебрежении

В самом деле, чтобы найти уравнения этих поверхностей, достаточно дать постоянным значения таким образом, мы получим

Таковы уравнения асимптотических поверхностей при мы видим, что нашли только две из этих поверхностей, соответствующие двойному знаку у второго радикала.

Предположим, что функция обращающаяся в нуль при положительна для всех остальных значений

Теперь мы попытаемся составить уравнения асимптотических поверхностей для значений близких к 1.

Мы имеем

голоморфные функции от и, следовательно, от и

Уравнения наших поверхностей запишутся в виде

где функция от удовлетворяющая уравнению в частпых производных

в котором производные и заменены на

Разложим по степеням

мы получим в первом приближении уравнения асимптотических поверх ностей в виде

Мы уже иашли

Остается определить для этого мы имеем уравнение

Производные и в правой части должны быть заменены на и на Таким образом, эта правая часть является известной функцией от

Уравнение принимает вид

Положим

Мы видим, что периодические функции от и, и мы должны считать функцией и и

Тогда наше уравнение примет вид

Правая часть — известная функция от у и периодическая относительно V.

Это уравнение — совершенно того же вида, что и уравнение (2) , причем играет роль у.

Мы поступим с ним таким же образом; мы определим методами четыре функции соответствующие четырем асимптотическим

Как и в , мы найдем, что эти асимптотические поверхности пересекаются и что, следовательно, существуют гетероклинные решения.

Но это установлено только для значений близких к 1; я не знаю, справедливо ли это также для малых значений

Таким образом, результат является довольно неполным; однако я надеюсь, что мне простят длинноту этого отступления, ибо вопрос, который я скорее поставил, чем решил, оказывается непосредственно связанным с вопросом об устойчивости, как я показал в п. 400..