Неустойчивые решения

349. Предположим теперь, что решение неустойчиво, а положительно; в этом случае вещественны.

По той же причине, что и выше, функция будет монотонно возрастающей; однако возможны два предположения:

1. Либо не может обратиться ни в нуль, ни в бесконечность и монотонно возрастает от 0 до когда возрастает от до

Тогда ни одна точка периодического решения не имеет фокуса по Мопертюи.

2. Либо может обратиться в нуль при тогда она будет обращаться в нуль также при а так как она не может иметь ни максимума, ни минимума, то необходимо, чтобы она обращалась в бесконечность в интервале. Аналогично, если может обратиться в бесконечность, необходимо также, чтобы она могла обратиться в нуль.

Итак, предположим, для определенности, что обращается в бесконечность при

и при значениях которые отличаются от них на кратное и обращается в нуль при

При этом я предполагаю

При этом, когда возрастает от до или от до или от до функция монотонно возрастает от до

Замкнутая траектория , которая представляет периодическое решение, будет, следовательно, разделена на две дуги, концы которых будут соответствовать значениям

Каждая точка одной из дуг будет иметь свой первый фокус на следующей дуге.

Я прибавляю, что точки, соответствующие значениям

совпадают со своими вторыми фокусами.

Пусть значение соответствующее любой точке значение которое соответствует ее фокусу; мы будем иметь

Но это не все; мы получим

Если очень велико и если не есть бесконечность, то, так как разность очень велика и так как мы предполагаем а положительным, будет очень малым, так что если заключено, например, между то разность

будет стремиться к когда будет неограниченно возрастать.

Если стремится к , эта разность будет стремиться к или к в зависимости от того, будет ли заключено между или между Я добавлю, что разность — либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает с

Значения соответствуют точкам, в которых

но разность является периодической функцией, умноженной на а периодическая функция должна обращаться в нуль в течение периода четное число раз.

Следовательно, замкнутая траектория будет разделена точками на определенное число дуг, и это число всегда будет четным.

350. С интересующей нас точки зрения неустойчивые периодические решения могут, следовательно, быть разделены на две категории. Однако можно было бы поставить вопрос о том, действительно ли существуют эти две категории. Таким образом, следует привести соответствующие примеры.

Пусть полярные координаты подвижной точки на плоскости; уравнения движения запишутся в виде

Предположим, что при имеем

уравнения (1) будут допускать решение

и это решение будет соответствовать замкнутой траектории, которая будет окружностью.

Положим

и составим уравнения в вариациях; они запишутся в виде

Второе интегрируется немедленно:

но постоянная в правой части должна быть нулем, если мы хотим, чтобы постоянная живых сил имела одно и то же значение для траектории и для бесконечно близкой траектории.

Следовательно, если мы заменим на то первое уравнение в вариациях примет вид

Уравнение (2), которое нам остается проинтегрировать, является линейным уравнением с периодическим коэффициентом.

Такие уравнения были рассмотрены в пунктах 29 и 189 (см., кроме того, главу IV, passim).

Мы знаем, что они допускают два решения следующего вида:

где — периодические функции.

Мы сейчас найдем примеры всех случаев, которые различали выше. Предположим сначала, что сводится к постоянной А (случай центральных сил).

Если , то будем иметь устойчивое периодическое решение. Если то на не будет фокусов по Мопертюи и получим неустойчивое периодическое решение первой категории.

Мне остается показать, что можно также получить неустойчивые периодические решения второй категории.

Решение будет неустойчивым второй категории, если обращается в нуль таким образом, что отношение

соответствующее функции предыдущих параграфов, может обращаться в нуль и, следовательно, в бесконечность.

Но, очевидно, можно построить периодическую функцию удовлетворяющую следующим условиям:

1) она будет допускать два и только два простых нуля;

2) эти нули будут обращать в нуль также выражение

Отсюда вытекает, что всякий раз, когда

обращается в нуль, ее вторая производная будет также обращаться в нуль таким образом, что отношение

будет оставаться конечным.

Очевидно, можно построить функцию удовлетворяющую этим условиям; периодическая функция построенная при помощи этой функции будет соответствовать неустойчивому периодическому решению второй категории.

В качестве примера функции удовлетворяющей этому условию, мы можем взять

Эта функция обращается в нуль при она не имеет других нулей, если

При этом при и при : мы имеем

Чтобы отношение обратилось в нуль, недостаточно, чтобы обратилось в нуль необходимо еще, чтобы в нуль не обращалось.

Но это как раз и имеет место, так как если бы обратились в нуль одновременно, то два решения

могли бы отличаться друг от друга только постоянным множителем (поскольку они удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка), а это нелепо.

351. Факт, на который я хотел бы обратить внимание, состоит в том, что неустойчивые решения первой и второй категории образуют два таких непересекающихся множества, что нельзя перейти от одного к другому непрерывным образом, не переходя через устойчивые решения.

Ограничимся сначала частным случаем предыдущего параграфа и снова возьмем уравнение (2)

Будем варьировать непрерывным образом функцию и посмотрим, можно ли непосредственно перейти от неустойчивого решения первой категории к неустойчивому решению второй. Для этого необходимо, чтобы вещественная функция сначала не могла обращаться в нуль, а затем могла стать нулем. Таким образом, мы перешли бы от случая, когда все корни уравнения мнимые, к случаю, когда его корни вещественны. В момент перехода оно имело бы один двойной корень или, вообще, корень кратности

Этот нуль, который будет для порядка будет порядка для порядка для так что выражение

обратится в бесконечность, что невозможно, поскольку оно равно

Напротив, можно перейти от устойчивого решения к неустойчивому решению той или иной категории.

Действительно, для устойчивого решения функция мнимая. В момент, когда решение становится неустойчивым, мнимая часть становится тождественным нулем; если в этот момент вещественная часть имеет нули, мы перейдем к неустойчивому решению второй категории; если эта вещественная часть никогда не обращается в нуль, мы перейдем к не устойчивому решению первой категории.

При этом нет никаких затруднений для перехода от случая, когда все корни уравнения

мнимы, к случаю, когда корни этого уравнения вещественны, лишь бы в момент перехода мнимая часть не была нулем.

352. Чтобы лучше пояснить предыдущее, я вернусь сейчас снова к примеру, который нам уже знаком.

Возвратимся к уравнению Гильдена, т. е. к уравнению (1) п. 178. Мы дадим этому уравнению номер (3) и запишем его в виде

Мы видим, что оно имеет ту же форму, что и уравнение (2). Это уравнение имеет, как и уравнение (2), два интеграла вида

которые мы писали в обозначениях п. 178 в виде

Случай вещественного соответствует тогда случаю устойчивых решений, а случай комплексного случаю неустойчивых решений.

Мы рассмотрели также два замечательных интеграла; первый — четный

второй — нечетный

и нашли условия

Я ссылаюсь теперь на рисунок на стр. 543 (том на котором, считая прямоугольными координатами точки, мы отделили области, соответствующие устойчивым решениям, от тех, которые соответствуют неустойчивым решениям. Эти последние заштрихованы.

Эти различные области отделены друг от друга четырьмя аналитическими кривыми, уравнения которых я дал на стр. 541 (том II).

Вот эти уравнения:

Какой категории принадлежат неустойчивые решения, которые соответствуют нашим заштрихованным областям? Прежде всего, ясно, что все неустойчивые решения, которые соответствуют одной из этих областей, одной и той же категории. Это немедленно вытекает из предыдущего.

Но в точке одной из кривых и (8) функция сводится к а эта функция может обратиться в нуль, поскольку она нечетная. Таким образом, если область ограничена дугой одной из кривых и (8), то соответствующие решения будут второй категории.

Но то же относится ко всем нашим областям. Следовательно, все наши неустойчивые решения второй категории.

Легко преобразовать пример таким образом, чтобы иметь решения двух категорий. Достаточно заменить на так чтобы этот коэффициент мог стать отрицательным.

Тогда уравнение (3) записывается в виде

Примем снова за прямоугольные координаты и построим фигуру, аналогичную фигуре на стр. 543. Часть фигуры, расположенная справа от оси со стороны положительных будет аналогична фигуре на стр. 543. Но слева от оси со стороны отрицательных мы будем иметь заштрихованную область, ограниченную чем-то вроде параболы, касающейся оси

Заштрихованные области справа будут соответствовать — мы только что это видели — решениям второй категории; но этого не будет для заштрихованной области слева.

Чтобы убедиться в этом, достаточно положить откуда

353. Я опять провел анализ только в частном случае. Чтобы распространить его на общий случай, я покажу сейчас, что мы всегда приходим к уравнению того же вида, что и уравнение (2) предыдущего параграфа.

Рассмотрим сначала случай абсолютного движения; если силовая функция и если х и у — декартовы координаты точки на плоскости, то уравнения движения запишутся в виде

а уравнения в вариациях —

Для большей краткости я обозначаю штрихами дифференцирование по Так, представляет здесь а не значение при как в п. 341.

Интеграл ивы к сил запишется в виде

а соответствующий интеграл уравнений (2) —

Для приложения принципа Мопертюи необходимо предположить, что

так что будем иметь

или

Тогда уравнения (2) и (3) будут допускать три линейно независимых решения, которые мы обозначили в п. 345

Положим

Тогда, если обозначим черев три значения 0, которые соответствуют трем решениям (4), будем иметь и функция, которую мы назвали в , будет не чем иным, как

Из уравнения (5) находим

и

Но х и у удовлетворяют уравнениям (2), так что имеем

Заменим в выражении для производные значениями, найденными таким образом, а производные их значениями (2); получим

Я обозначаю через (или, короче, через Д) сумму двух вторых производных

Легко проверить следующее тождество:

или, учитывая (5), (6), (7) и (3),

Таково дифференциальное уравнение, которое определяет неизвестную функцию 0.

Мы положим

и наше уравнение примет вид

Мы получили уравнение того же вида, что и уравнение (2) предыдущего пункта. Таким образом, заключения предыдущего пункта сохраняются; неустойчивое периодическое решение будет второй или первой категории в зависимости от того, может ли функция обратиться в нуль или нет. Нельзя перейти прямо от неустойчивого решения первой категории к неустойчивому решению второй категории, не проходя через устойчивые решения.

354. Сохранятся ли опять те же результаты в случае относительного движения?

В этом случае уравнения движения имеют вид

где означает скорость вращения подвижных осей. Уравнения в вариациях будут

Так как опять будет справедливо уравнение живых сил, то будет также иметь место

Положим снова

тогда сохранятся уравнения (5) и (6).

С другой стороны, так как х и у должны удовлетворять уравнениям мы будем иметь

Принимая во внимание эти уравнения, а также уравнения и учитывая также уравнение можно упростить выражение и снова найти уравнение

Так как тождество из предыдущего параграфа справедливо всегда, то мы снова найдем уравнения

и

таким образом, ничего не нужно менять в выводах предыдущего параграфа.

355. Однако встает новый вопрос.

Траектория является замкнутой кривой; мы пытались до сих пор определить, соответствует ли дуга этой кривой действию, меньшему чем действие вдоль всякой бесконечно близкой дуги, имеющей те же концы.

Но мы должны также спросить себя, соответствует ли вся эта замкнутая кривая целиком действию, меньшему чем действие вдоль бесконечно близкой замкнутой кривой.

Предположим сначала, что точка А кривой имеет свой первый фокус В на кривой , так что дуга меньше, чем вся замкнутая кривая.

Это имеет место для неустойчивых решений второй категории; мы видели, что для этих решений кривая разделяется на некоторое четное число дуг и что любая точка одной из этих дуг имеет свой первый фокус на следующей дуге; таким образом, исходя из какой-нибудь точки, мы встретим ее первый фокус, прежде чем совершим полный обход кривой .

Это имеет место также и для некоторых устойчивых решений.

В случае устойчивых решений мы положили (п. 347)

и мы видели, что значения для точки и ее первого фокуса отличаются на Если, следовательно, больше 1/2, мы встретим фокус точки до того, как совершим полный обход .

Если это так, то действие не может быть меньшим для кривой , чем для всякой близкой замкнутой кривой.

Пусть, в самом деле, кривая , и предположим, что фокус С. Так как Е лежит за фокусом точки С, то мы сможем соединить С с Е дугой очень близкой к и соответствующей меньшему действию.

Если я обозначу символом действие, соответствующее дуге то мы будем иметь

и, следовательно,

Рассмотрим теперь такое устойчивое решение, что

Я говорю, что действие также не будет меньшим для , чем для всякой бесконечно близкой замкнутой кривой.

На рисунке я предполагаю для определенности, что значение заключено между и 1/6, так что мы встречаем фокус точки, прежде

чем совершим три обхода и после того, как совершим два обхода (рис. 10).

Пусть кривая (Т); фокус F будет находиться между , и мы попадем в него после двух обходов .

Так как В находится за этим фокусом, то мы можем соединить А с В такой дугой что

Так как мы не встретим фокуса точки А, описывая дугу не обойдя , то мы будем иметь, с другой стороны,

откуда, вычитая, получим

или

Таким образом, мы должны иметь либо

либо

Во всяком случае имеется замкнутая кривая, мало отличающаяся от и соответствующая меньшему действию.

Рис. 10

Рис. 11

Таким образом, чтобы замкнутая кривая соответствовала действию, меньшему, чем действие вдоль всякой бесконечно близкой замкнутой кривой, необходимо, чтобы эта замкнутая кривая соответствовала неустойчивому периодическому решению первой категории.

356. Является ли это условие достаточным? Чтобы узнать это, изучим асимптотические решения, соответствующие подобному неустойчивому периодическому решению.

Пусть

— уравнения периодического решения, а

— уравнения асимптотических решений. Функции будут периодическими функциями Мы можем также написать, полагая

Если и достаточно малб, то и у будут однозначными функциями от и , периодическими по с периодом

Кроме того, функциональный определитель

не будет обращаться в нуль. В самом деле, при этот определитель приводится к

Но это выражение есть не что иное, как выражение

из п. 345, деленное на Значит, оно не обратится в нуль, если неустойчивое решение будет первой категории.

Следовательно, функциональный определитель, не обращаясь в нуль при также не обратится в нуль при достаточно малом .

Итак, если и достаточно мало, будут однозначными функциями от х и у.

Уравнения асимптотических решений записываются в виде

и мы видим, что функциональный определитель

не может обратиться в нуль, что означает, что кривые (1) не имеют двойной точки, не пересекаются между собой и не пересекают траекторию [все это, разумеется, имеет место, если предположить и достаточно малым; это не будет справедливым, если кривые (1) бесконечно продолжить так, чтобы и стало очень большим].

Кривые (1), соответствующие асимптотическим решениям, будут, таким образом, иметь вид спиралей, закручивающихся вокруг . Этот вид представлен на рис. 11. Замкнутая траектория здесь представлена сплошной линией, но я должен предупредить, что на рисунке имеются две замкнутые кривые, представленные сплошной линией; из этих двух кривых та, которая лежит внутри другой, представляет (Т).

Спиральные кривые (1) представлены пунктирной линией.

Я замечаю, что имеются две системы асимптотических решений, соответствующие двум равным и противоположным по знаку характеристическим показателям.

Эти асимптотические решения второй системы будут спиральными кривыми, аналогичными кривым (1), но закручивающимися в противоположном направлении. Они не представлены на рисунке.

В случае неустойчивого решения второй категории кривые (1) имели бы совсем другой вид; они пересекали бы бесконечное число раз замкнутую траекторию , а точки пересечения составили бы бесконечное множество, имеющее конечное и притом четное число предельных точек. Эти предельные точки соответствовали бы значениям рассмотренным в п. 349.

357. Вернемся к неустойчивым решениям первой категории и асимптотическим решениям первой системы, представленным на рис. 11. Я задаюсь целью установить, что действие является меньшим для , чем для всякой бесконечно близкой замкнутой кривой.

Я рассматриваю произвольную замкнутую кривую, бесконечно мало отличающуюся от . Эта кривая, которую я назову , представлена на рис. 11 замкнутой сплошной кривой, лежащей вне и проходящей через точки

Ограничимся сначала случаем абсолютного движения. В этом случае мы имеем следующую хорошо известную теорему.

Пусть непрерывный ряд дуг траекторий.

Концы этих дуг лежат на двух кривых

Если эти две кривые пересекают под прямым углом траектории то мы будем иметь

обозначая всегда символом действие, соответствующее дуге

Построим, таким образом, траектории, ортогональные к кривым (1). Дифференциальным уравнением этих траекторий, которые я назову кривыми (2), будет

Через каждую точку плоскости проходит одна и только одна кривая (2), лишь бы и было достаточно мало. Иначе могло бы быть только в том случае, если бы коэффициенты при обращались в нуль одновременно, что может иметь место, только если функциональный определитель от по и и обращается в нуль; мы же видели, что это не так. Кривые (2) представлены на рис. 11 штрих-пунктиром.

Пусть две из этих бесконечно близких кривых; они вырезают на дугу на кривых (1) — дуги на дугу

Для моей цели мне достаточно установить, что действие больше, чем для соответствующей дуги траектории .

Мы имеем, в самом деле,

а в бесконечно малом криволинейном прямоугольном треугольнике

Таким образом, имеем

и, следовательно,

что и требовалось доказать.

358. Остается посмотреть, сохраняется ли тот же результат для относительного движения.

Необратимость уравнений составляет, очевидно, значительную разницу по сравнению с предыдущим случаем. Действие для какой-нибудь дуги не является более тем же самым, что для той же дуги при обходе ее в противоположном направлении. При этом если какая-нибудь кривая удовлетворяет дифференциальным уравнениям, то это не имеет места для той же кривой при обходе в противоположном направлении.

Наконец, траектории, ортогональные к кривым (1), не обнаруживают более того фундаментального свойства, которое я сформулировал в предыдущем пункте. Но есть другие кривые, которые я сейчас определю и которые обладают этим свойством. Этого достаточно, чтобы результат предыдущего пункта сохранил силу.

В п. 340 мы нашли выражение действия

Для простоты я положу я обозначу координаты не через а через у, чтобы приблизиться к обозначениям, примененным в предыдущих пунктах, и угловую скорость не через а через отбрасывая штрих, ставший ненужным. Тогда я получу

откуда

или, интегрируя по частям,

Окончательное выражение состоит, таким образом, из двух частей: определенного интеграла, который должен быть взят в тех же пределах, что и интеграл и внеинтегрального члена, который я, как принято, поместил в квадратные скобки с индексами 0 и 1, где выражение в квадратных скобках необходимо вычислить для двух пределов интегрирования, а затем составить разность.

Предположим теперь, что мы приравниваем нулю выражение, фигурирующее под знаком интеграла в правой части равенства (4). Мы получим дифференциальные уравнения, которые будут в точности уравнениями движения и которым будут удовлетворять все наши траектории и, в частности, кривые (1).

Эти уравнения можно получить бесконечным числом способов, потому что две совершенно произвольные функции.

Мы можем сначала предположить откуда и наше уравнение запишется, если разделить на в виде

Если бы мы предположили, наоборот, что мы бы нашли

Эти два уравнения эквивалентны, как легко было предвидеть, и, в самом деле, если их сложить после того, как они умножены соответственно на и если учесть соотношения

то мы придем К тождеству.

Если мы, следовательно, рассмотрим кривые (1), они будут удовлетворять уравнению (6). Если принять во внимание это уравнение, то соотношение (4) примет вид

Пусть непрерывная последовательность дуг, принадлежащих кривым (1), концы которых образуют две непрерывные кривые .

Пусть - две из этих дуг, бесконечно мало отличающиеся друг от друга. Пусть х, у — координаты точки координаты бесконечно близкой точки

Пусть -действие относительно дуги - действие относительно дуги

Если а — угол, составленный с осью х касательной к кривой которая является кривой (1), и если две кривые удовлетворяют дифференциальному уравнению

то мы будем иметь

и, следовательно,

Кривые, определяемые уравнением (7), могут, следовательно, играть ту роль, которую играли в предыдущем пункте траектории, ортогональные к кривым (1).

Таким образом, мы можем опять взять рис. предположить, что кривые, проведенные штрих-пунктирной линией, представляют не эти ортогональные траектории, а кривые, определенные уравнением (7). Нам не понадобится тогда ничего изменять в доказательстве.

Однако один момент не является более очевидным. В прямоугольном бесконечно малом треугольнике я имел

Этот треугольник не является теперь прямоугольным, и, с другой стороны, я изменил определение действия. Сохраняется ли это неравенство опять?

Легко видеть, что это неравенство равносильно условиям (А) п. 341, а мы видели в п. 344, что они выполнены. Таким образом, неравенство имеет место, и наше доказательство сохраняется.

В итоге для того чтобы замкнутая кривая соответствовала действию, меньшему, чем действие вдоль всех замкнутых бесконечно близких кривых, необходимо и достаточно, чтобы эта замкнутая кривая соответствовала неустойчивому периодическому решению первой категории.

359. Сказанное нами по поводу классификации неустойчивых решений по двум категориям требует одного замечания.

С другой точки зрения неустойчивые периодические решения можно разделить на два класса. Решениями первого класса являются те, для которых характеристический показатель а веществен, так что вещественно и положительно, где Т — период.

Решениями второго класса являются те, для которых этот показатель а имеет мнимую часть, равную так что вещественно и отрицательно.

В предыдущих пунктах мы занимались исключительно неустойчивыми решениями первого класса. Посмотрим, можно ли разделить решения второго класса также на две категории.

Мы можем положить

где а — вещественно; и затем мы положим, как в п. 346,

где вещественные функции от меняющие знак, когда изменяется на

Тогда имеем

Числитель и знаменатель функции от которые меняют знак, когда меняется на

Таким образом, эти две функции определенпо обращаются в пуль и, следовательно, то же имеет место и для

Эти две последние функции удовлетворяют одному и тому же линейному дифференциальному уравнению второго порядка, коэффициенты которого являются периодическими функциями от не обращающимися в бесконечность, причем коэффициент при второй производной сводится к постоянной.

Эти две функции не могут обратиться в нуль одновременно; ибо если бы два интеграла подобного линейного уравнения обратились одновременно в нуль, то они могли бы отличаться только постоянным множителем. Но С (0 не постоянная.

Таким образом, и числитель, и знаменатель обращаются в нуль, но не одновременно; итак, следовательно, ] могут обратиться в нуль и в бесконечность.

Все неустойчивые решения, о которых идет речь, таким образом, второй категории; за этим исключением в предыдущем ничего не нужно менять.