Прямое построение решений

362. Заменами переменных в пунктах 209, 210, 273, 274, применимыми всегда, когда имеется система канонических уравнений, допускающая периодическое решение, мы можем привести наши уравнения к виду уравнений п. 274. В этом пункте мы составили следующие уравнения:

где целый многочлен относительно который будет одно родным степени если считать величинами первого порядка, второго порядка. Коэффициенты этого полинома являются периодическими функциями от период которых равен

Как и в п. 274, мы сейчас отбросим ставшие ненужными штрихи и будем писать вместо

Тогда мы можем предположить (см. стр. 90—92), что

где постоянные; я мог бы предположить также но я этого не буду делать.

Положим затем, как на стр. 92,

уравнения сохранят каноническую форму, и мы получим

остальные члены будут периодическими с периодом как по так и по

Тогда наши уравнения имеют форму, аналогичную той, которую мы изучали столько раз и, в частности, в пунктах 13, 42, 125 и т. д., где параметр играет роль параметра Следовательно, мы можем применить к ним методику п. 44.

Однако возникает одно препятствие: гессиан от по и по и равен нулю; а это как раз один из исключительных случаев п. 44.

Это обстоятельство заставляет меня предположить, что F зависит от некоторого параметра X, и мы будем разлагать одновременно по степеням X и по степеням Впрочем, мы видели в главе XXVIII, что при изучении периодических решений второго рода всегда следует ввести подобный параметр, поскольку решения второго рода характеризуются как раз тем, что они сводятся к решению первого рода при и отличаются от него при .

Только вместо одного произвольного параметра я введу для большего удобства изложения два, которые я назову

Итак, мы предположим, что различные коэффициенты F разложимы по степеням двух параметров и что при постоянные сводятся и где вещественное рациональное число.

Я предполагаю, что можно разложить по возрастающим степеням в виде

где постоянные, которые я оставлю пока неопределенными, но я оставляю за собой их определение в последующих вычислениях.

При этих условиях последуем шаг за шагом вычислениям п. 44. Мы положим

Эти формулы аналогичны формулам (2) из п. 44.

Величины являются, следовательно, периодическими функциями от постоянные и

где — постоянная интегрирования, которую я определю более полно в дальнейшем.

Подставим затем в F вместо их разложения по степеням тогда F также будет разложима по степеням и мы получим

Я замечу сначала, что Ф — однородная функция степени если считать, что и степени степени степени

При этом она представляет собой целый полином относительно

и относительно

Эти два последних количества мы считаем порядка 1. Наконец, коэффициенты этого полинома являются периодическими функциями от период которых равен

С другой стороны, мы найдем

где значения при (Мы можем предположить, что при мы имеем С другой стороны, зависит только от

Тогда наши дифференциальные уравнения записываются в виде

При они приводятся к

Они показывают, что постоянные, и что

где постоянная, подлежащая определению.

Мы можем с пользой присоединить к уравнениям (4) и (5) другие уравнения аналогичного вида, которые являются всего лишь их преобразованиями.

Разложим по степеням и пусть

Разложения впрочем, выводятся непосредственно из двух последних разложений (4).

Тогда мы видим, что целый полином относительно количеств

и что этот полином однородный степени если считать, что

Тогда мы получим уравнения

эквивалентные двум последним уравнениям (5).

Мы замечаем, что полиномы того же вида, что и относительно количеств (6) и что при соглашениях, сделанных по поводу степеней, они однородны, первый — порядка второй — порядка к, а два последних — порядка

Кроме того, мы имеем

Заменим в уравнениях (5) и этими значениями и одновременно на где необходимо предположить, что мы сделали и воспользуемся ими для определения

Мы имеем таким образом шесть следующих уравнений:

Рассмотрим сначала второе из этих уравнений; правая часть является целым однородным полиномом третьей степени относительно

коэффициенты которого — периодические функции от с периодом Так как рационально, то наша правая часть также будет периодической функцией от от которого она зависит двояким образом — посредством которое равно и посредством ! и которые являются функциями от

Период будет кратным т. е. равен такому числу сколько единиц содержится в знаменателе

Правую часть можно, таким образом, разложить в ряд Фурье вида

где целые. Но не может превысить 3 по абсолютной величине, поскольку правая часть является полиномом третьей степени.

Отсюда вытекает, что, вообще говоря, среднее значение правой части равно нулю. В самом деле, мы получим это среднее значение, сохраняя в ряде (8) члены, не зависящие от т. е. такие, что

Я сказал, что не может превзойти 3; я мог бы добавить, что наша правая часть, будучи целым и однородным полиномом степени 3 относительно если считать степени 2, может содержать и только в нечетной степени, т. е. что должно быть нечетным и может принимать только одно из значений или

Таким образом, можно получить

только если знаменатель равен 1 или 3.

Мы исключим первое предположение, при котором оказалось бы целым числом, однако нам остается рассмотреть два случая.

1. Знаменатель не равен 3. В этом случае, так как правая часть имеет нулевое среднее значение, уравнение даст немедленно простой квадратурой; тогда определится с точностью до постоянной, которую я назову и эта постоянная остается неопределенной вплоть до определения членов высшего порядка; следует заметить, что то же относится и к S.

2. Знаменатель равен 3. Тогда чтобы уравнение было интегрируемым, необходимо сделать среднее значение правой части равным нулю; для этого мы распорядимся постоянной И.

Пусть среднее значение заметим, что

таким образом, мы определим Э уравнением

и одна квадратура даст нам затем с точностью до постоянной

Возьмем теперь первое уравнение (7), рассуждая таким же образом. Так как будет полиномом не третьего, а первого порядка, и не будет целым, мы будем уверены, что среднее значение равно нулю.

Таким образом, нам достаточно взять чтобы среднее значение правой части было равно нулю и чтобы было определено с точностью до постоянной

Перейдем теперь к двум последним уравнениям (7); их можно написать в виде

Правые части являются известными периодическими функциями от для того чтобы интегрирование было возможным, достаточно, следовательно, чтобы правая часть первого уравнения не содержала членов с а правая часть второго — членов с

Анализ этого двойного условия проводится легче, если рассмотреть третье и четвертое уравнения (7), которые эквивалентны двум последним и записываются в виде

Необходимо, чтобы средние значения правых частей были равны нулю.

Что касается первого из этих уравнений, то условие выполняется само собой; в самом деле,

Это последнее выражение равно нулю в силу уравнения (9), если знаменатель равен 3, а в противном случае — потому что есть тождественный нуль.

Второе условие записывается в виде

Если знаменатель равен 3, то оно даст нам

Если, наоборот, знаменатель не равен 3, то оно даст потому что тождественный нуль.

Таким образом, мы видим, что периодические функции от и . Следовательно, они будут разложимы в ряды Фурье вида

Однако можно добавить кое-что сверх того; мы должны рассмотреть уравнения следующего вида:

из которых найдем

где у и у — постоянные интегрирования.

Таким образом, если целые и однородные полиномы относительно

то же будет для и для по крайней мере, если предположить, что постоянные равны нулю. Если не предполагать, что эти постоянные суть нули, то опять будут целыми полиномами, но не однородными.

Применим эти принципы к величинам, которые мы только что вычислили; мы видим, что так как

— полиномы, которые согласно соглашениям, сделанным нами о степенях, имеют соответственно степени

то же имеет место и для

Когда мы подставим в вместо этих количеств их значения, степени которых суть соответственно 1, 3, 2, 2, то увидим, что станет полиномом 4-й степени и что

будут полиномами соответственно степеней

Мы можем обобщить этот результат.

Уравнения (5) и позволяют вычислить шаг за шагом неизвестные мы принуждены были бы остановиться только в том случае, если среднее значение правой части одного из уравнений (5) оказалось отличным от нуля.

Предположим, что это обстоятельство не имеет места; я говорю, что

будут полиномами степеней

относительно

а коэффициенты этих полиномов будут периодическими функциями от с периодом

В самом деле, предположим, что это справедливо для всех значений индекса, меньших к.

Мы знаем, что — целый полином степени относительно

в предположении, что эти количества имеют соответственно степени Если, следовательно, мы подставим вместо количеств (11)

полиномы, степени которых относительно количеств (10) как раз равны то очевидно, результат подстановки будет полиномом степени относительно количеств (10).

Таким образом, полином степени относительно количеств (10), и по той же причине

будут полиномами степеней

относительно этих же количеств.

Таким образом, то же самое имеет место для правых частей первого, второго, пятого и шестого уравнений (7); следовательно, повторяя предыдущее рассуждение, мы легко увидели бы, что то же самое опять имеет место и для

что и требовалось доказать.

Интегрирование уравнений (7) ввело четыре новых постоянных интегрирования. В самом деле, из них мы узнаем с точностью до членов

содержащих четыре произвольные постоянные

Мы сохраним только одну из этих постоянных и положим

После этого попытаемся определить

при помощи уравнений (5) и полагая в них

Сначала необходимо, чтобы правая часть первого уравнения (5) имела нулевое среднее значение; это среднее значение равно

если, как всегда, применять квадратные скобки для обозначения среднего значения функции. Таким образом, мы получим

Предположим, что разложено в ряд Фурье вида

Так как -полином четвертой степени, не может превосходить по абсолютной величине 4, и, следовательно, если знаменатель больше будет тождественным нулем, а условие будет выполнено само собой; постоянная Э останется неопределенной.

Если знаменатель равен 2 или 4, условие определит Э.

Если знаменатель равен 3, постоянная Э уже определена условием (9), и условие послужит для определения постоянной Вычислим в члены, которые зависят от этой постоянной Очевидно, мы найдем

т. е.

Среднее значение этого выражения будет равно

Таким образом, условие можно написать (если заметить, что в виде

где Н зависит от но не от

Если знаменатель не равен равно 0, и условие не зависит от Таким образом, если этот знаменатель равен 2 или 4, уравнение будет зависеть от Э, а не от у, и определит Э.

Если знаменатель равен 3, условие зависит от определит (при этом оно даст

Во всяком случае, определив таким образом постараемся вычислить при помощи второго уравнения (5). Мы распорядимся таким образом, чтобы среднее значение правой части было равно нулю. Заметим, что вообще говоря, не будет нулем; в самом деле,

вообще говоря, не будет нулем. Ибо будучи полиномом степени 4, будет содержать один член с не зависящий от величин и

Коэффициент этого члена будет периодической функцией от периодом и его среднее значение не будет, вообще говоря, нулем.

Перейдем к уравнениям или, что то же самое, к двум последним уравнениям (5). Правые части этих двух последних уравнений должны иметь нулевые средние значения.

Следовательно, мы должны иметь

что определяет [2. Но

— полином четвертого порядка. Таким образом, содержит члены с и, следовательно, содержит член с

Коэффициент этого члена является периодической функцией от среднее значение которой, вообще говоря, не равно нулю. Таким образом, вообще говоря, и, следовательно, не равны нулю. Это то же самое рассуждение, что и для

Затем мы должны иметь

Но я говорю, что это условие выполняется само собой.

В самом деле, мы имеем интеграл живых сил, откуда выводим ряд уравнений:

Рассмотрим третье из этих уравнений:

Этим уравнением можно заменить четвертое уравнение (5), и когда мы определим при помощи трех первых уравнений (5), оно определит без всякого интегрирования. Таким образом, можно быть уверенным, что определение возможно, и, следовательно, что условие (12) выполнено.

Мы определим таким образом с точностью до членов

зависящих от четырех произвольных постоянных. Мы сохраним только одну из этих постоянных и положим

363. Вычисление продолжается таким же образом. Для интегрируемости уравнений (5) необходимо выполнение условий

Последние два из этих условий определят второе будет следствием первого в соответствии с тем, что мы видели относительно условия (12). Таким образом, нам остается изучить первое условие.

Выражение является полиномом порядка если его разложить в ряд Фурье

то целое не может превзойти по абсолютной величине. Следовательно, если к меньше знаменателя то нельзя получить

и среднее значение нашего выражения будет равно нулю. Условие

будет, следовательно, выполнено само собой.

Мы ввели следующие произвольные постоянные:

может зависеть от

Посмотрим, каким образом. Предположим, что мы рассматриваем разложение

и что в этом разложении мы заменяем величины и у их значениями; различные члены разложения будут зависеть тогда от постоянных (14). В этом разложении (15) обратим в нуль все постоянные сохраняя только мы получим таким образом новое разложение

Заменим теперь в разложении (16) постоянную а разложением

где — новые постоянные. Каждый из членов разложения (16) можно в свою очередь разложить по степеням располагая снова по степеням мы получаем новое разложение

Это разложение должно быть тождественным с разложением (15) при условии замены постоянных надлежащим образом выбранными функциями постоянных

Легко видеть, что зависит только от

и что зависит только от

Отсюда мы заключаем, что зависит только от

а - от

Легко видеть, что

где А — числовой коэффициент и производная от по порядок этой производной равен

и при этом мы имеем

Так как равно по крайней мере 1, поскольку не зависит от а, то мы видим сначала, что равно нулю, что мы, впрочем, уже знали.

Рассмотрим любой член, в котором равны нулю, но яд не нуль; мы должны будем иметь

Если знаменатель больше, чем , то среднее значение будет равно нулю; это означает, что те члены в которые зависят от имеют нулевое среднее значение.

Мы можем отсюда получить один важный результат, касающийся среднего значения Ф, и, следовательно, среднего значения

Если знаменатель равен будет зависеть только от Э.

Если знаменатель равен будет зависеть от

Если знаменатель равен будет зависеть от а, и

Если знаменатель равен будет зависеть от

При этом то, что я сказал только что о величине применимо к

Итак, если знаменатель равен , соотношение (13), в которое входит только определит а.

Если знаменатель равен соотношение (13) будет содержать а и однако Э уже предварительно было определено из соотношения

Соотношение (13) определит, таким образом, и, следовательно,

Если знаменатель равен А, соотношение (13) будет содержать но , были уже предварительно определены соотношениями того же вида, что и (13). Таким образом, (13) определит и, следовательно, и т. д.