Относительные инварианты

238. Мы можем попытаться теперь образовать относительные интегральные инварианты на замкнутых многообразиях. Предположим сначала, что и разыщем условие того, что интеграл

является интегральным инвариантом относительно замкнутых линий.

Совершим замену переменных, указанную выше, тогда наш интеграл примет вид

что я могу записать, возвращаясь к более симметричным обозначениям, введенным в конце предыдущего пункта, в виде

Этот интеграл, распространенный на замкнутое одномерное многообразие, т. е. на замкнутую линию, может быть преобразован, согласно теореме Стокса, в двойной интеграл, распространенный на незамкнутое многообразие двух измерений, т. е. на незамкнутую поверхность; имеем

Но интеграл в правой части (2) должен быть абсолютным интегральным инвариантом, а не только инвариантом относительно замкнутых многообразий.

Итак, мы заключаем следующее:

Чтобы интеграл (1) был интегральным инвариантом относительно замкнутых линий, необходимо и достаточно, чтобы все биномы

не зависели от z.

Точно так же пусть

будет интегральным выражением порядка того же вида, что и в предыдущих пунктах; мы хотим узнать, является ли это выражение интегральным инвариантом относительно замкнутых многообразий порядка

Мы предполагаем, что этот интеграл распространен на какое-то замкнутое многообразие порядка тогда теорема, аналогичная теореме Стокса, покажет нам, что он может быть преобразован в интеграл порядка распространенный на любое многообразие, замкнутое или незамкнутое, порядка Преобразованный интеграл записывается в виде

Знак берется, если четное, и поочередно знак и знак если нечетное. [Я отсылаю за большими подробностями к своему

мемуару о вычетах двойных интегралов (Acta Mathematica, том 7) и к моему мемуару, опубликованному в юбилейном выпуске Журнала Политехнической школы (Journal de l’Ecole Polytechnique), посвященном столетию журнала [2].]

Необходимое и достаточное условие того, чтобы (3) было интегральным инвариантом порядка относительно замкнутых многообразий, заключается в том, чтобы (4) было абсолютным интегральным инвариантом порядка

239. Возьмем снова выражение (1) из предыдущего пункта и предположим, что оно является относительным инвариантом, скажем, интегральным инвариантом относительно замкнутых линий.

Приведем его к виду нашей заменой переменных.

Пусть есть точка а

— ее координаты (в новых переменных).

Пусть М — соответствующая точка F, а

— ее координаты.

будут функциями от у и z, но я выделю z, записывая в виде

Тогда, если линия замкнута, мы будем иметь

это означает, что выражение

есть полный дифференциал, который я полагаю равным функция V будет зависеть не только от у и z, но еще и от При она должна свестись к постоянной.

Если мы предположим бесконечно малым и обозначим через производную от по z, то выражение (3) приведется к

Тогда выражение

ость полный дифференциал, который я полагаю равным Функция определенная таким образом, будет зависеть от у и z, но не будет более зависеть от Я снова выделю z, записав тогда получается

где произвольная функция от Но функцию можно рассматривать как производную по z от некоторой другой функции , зависящей также от у, и мы получим

Так как, с другой стороны, V должна при свестись к постоянной, то окончательно придем к заключению

где означает произвольную функцию только от которую, впрочем, можно было бы положить равной нулю, не ограничивая существенно общности.

Тогда находим

где не зависит от z, так что выражение приводится к виду

где первый интеграл есть интеграл от полного дифференциала, а второй — абсолютный интегральный инвариант.

240. Рассмотрим таким же образом относительный инвариант порядка выше первого; пусть

есть этот инвариант, который после замены переменных перейдет в

Интеграл

должен быть нулем, каково бы ни было замкнутое многообразие порядка на которое он распространен.

Следовательно, он должен удовлетворять определенным «условиям интегрируемости», аналогичным тем, которые выражают, что дифференциал первого порядка есть полный дифференциал.

Рассмотрим теперь многообразие измерений, но незамкнутое и ограниченное многообразием измерения, которое будет служить ему границей.

Интеграл (1), распространенный на многообразие V, не будет нулем, но если его вычислить для других аналогичных многообразий имеющих ту же границу найдем одно и то же значение, т. е. что значение интеграла (1) зависит только от границы

Он равен интегралу порядка

распространенному на многообразие где означает любое произведение дифференциалов, причем С есть функция от

Очевидно, интеграл (2) есть функция от зависящая, кроме того, от многообразия

Рассмотрим его производную по мы будем иметь

Эта производная, как это показывает ее последнее выражение, не меняется, если заменим на и одновременно преобразуем V (или заменяя всюду z на

Отсюда заключаем, что имеет следующий вид:

где функция от x, у, z.

Интеграл

порядка , однако его легко можно преобразовать в интеграл порядка достаточно применить преобразование, которое позволило нам в п. 238 перейти от интеграла (3) к интегралу (4), и обратное преобразованию, при помощи которого мы в настоящем пункте перешли от интеграла (1) к интегралу (2).

Интеграл (3), распространенный на многообразие и, равен поэтому интегралу порядка

распространенному на многообразие V.

По аналогии с терминологией, принятой для однократных интегралов, мы скажем, что интеграл (4) есть интеграл от полного дифференциала. И действительно:

1) он равен нулю для всякого замкнутого многообразия;

2) он приводим к интегралу меньшего порядка.

Установив это, будем иметь

где интегралы распространены на многообразие V.

Но это равенство может быть записано еще в виде

и оно верно для любого многообразия V.

Это значит, что

есть абсолютный интегральный инвариант.

Итак, мы приходим к следующему результату.

Всякий относительный интегральный инвариант есть сумма интеграла от полного дифференциала и абсолютного интегрального инварианта.

241. Мы видели в п. 238, каким образом из относительного инварианта порядка можно вывести абсолютный инвариант порядка

Очевидно, та же процедура применима к абсолютным инвариантам, так что можно было бы попытаться применить ее шаг за шагом и последовательно построить инварианты порядка

Однако мы скоро остановились бы на этом пути.

Действительно, имеется случай, когда процедура, о которой идет речь, является иллюзорной, а именно, когда инвариант, который мы хотим преобразовать, является интегралом от полного дифференциала.

Интегральный инвариант, к которому привело бы преобразование, был бы тогда тождественно равен нулю.

Если теперь преобразовать инвариант порядка то получится инвариант порядка но этот инвариант есть интеграл от полного дифференциала, так что если мы захотим его снова преобразовать, то придем в результате к тождественному нулю.