Глава XXX. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВТОРОГО ГОДА

360. Мы сейчас увидим, как можно эффективно построить периодические решения второго рода.

Пусть

- система канонических уравнений; предположим, что они допускают периодическое решение первого рода

Мы ставим себе целью изучить периодические решения второго рода, которые порождаются решением первого рода (2).

Анализ можно упростить, по крайней мере, при изложении, если привести уравнения (1) к надлежащему виду рядом замен переменных.

Мы предположим только две степени свободы. Когда увеличится на период, возрастут соответственно на

где целые.

Я могу сначала предположить, что ибо если бы это было не так, то я обратил бы в нуль заменой переменных из п. 202.

Я могу затем предположить, что периодическое решение (2) приводится к

ибо, если бы это было не так, то я совершил бы замену переменных из п. 208.

При этих условиях мы увидим сейчас, каким образом можно связать исследование периодических решений второго рода либо с анализом п. 274, либо с анализом п. 44.

361. Напомним результаты, полученные в пунктах 273—277. Пусть канонические уравнения

содержат параметр X, и предположим, что они допускают периодическое решение

с периодом соответствующим значению постоянной живых сил и Формально мы удовлетворим уравнениям (1) рядами следующего вида; эти ряды будут расположены по степеням количеств

Коэффициенты будут периодическими функциями от зависящими, кроме того, от постоянной живых сил С. Период Т будет также зависеть от С и от произведений он приведется к при

Показатели постоянные, разложимые по степеням X и произведений и зависящие, кроме того, от они приводятся к характеристическим показателям решения (2) при

Величины постоянные интегрирования.

При изучении асимптотических решений мы предположили, что вещественны, и приравняли нулю одну из двух постоянных А.

Чтобы применить эти же результаты к изучению периодических решений второго рода, мы предположим, что, наоборот, показатели чисто мнимые.

Я предположу только две степени свободы, что позволит отбросить индекс А, ставший ненужным.

Чтобы получить периодические решения, необходимо, чтобы показатель а был соизмерим с Если бы наши ряды сходились, то это условие было бы достаточным; но они расходятся и удовлетворяют уравнениям (2) только с формальной точки зрения. Таким образом, необходим более глубокий анализ; можно было бы применить искусственный прием, аналогичный примененному в пунктах 211 и 218. Таким образом, мы получили бы ряды, которые были бы по отношению к рядам из пунктов 273 и 277 тем же, что и ряды Болина по отношению к рядам в пунктах 125 и 127. Таким образом, мы пришли бы косвенным путем к периодическим решениям второго рода. Но я предпочитаю действовать иначе.