Существование решений второго рода

333. Обратимся вновь к предположениям п. 330; мы определили функцию которая зависит от от переменных

Величины и являются значениями при - суть значения при

Мы хотим изучить решения уравнений

согласно пунктам 321 и 322 эти решения соответствуют периодическим решениям с периодом Из них мы уже знаем одно решение, поскольку периодическое решение с периодом Т является в то же время периодическим с периодом я покажу, что в их числе имеются и другие.

Но прежде я хочу показать, с помощью какого приема можно сделать зависящей только от переменных

Для этого предположим, что

Рассмотрим теперь уравнения

Мы применяем символ чтобы обозначить производные от функции рассматриваемой как функция переменных , и чтобы обозначить производные этой же самой функции рассматриваемой как функция переменных .

Я докажу эквивалентность уравнений (1) и Из п. 322 имеем

Таким образом, уравнения (1) можно записать

а уравнения

Но в соответствии с уравнением живых сил мы имеем тождественно

Однако согласно уравнениям все равны Е и все (за исключением одного) равны

Итак, предыдущее тождество можно записать следующим образом; я пишу для краткости

Тождество можно написать в виде

или в силу теоремы о конечных приращениях

где заключено между 0 и 1 и где производная от F по

Пусть и значения и соответствующие периодическому решению с периодом рассматриваемая область содержит только близкую окрестность точки следовательно, и никогда не отклоняются намного от или от таким образом, второй множитель соотношении (2) никогда не отклоняется сильно от своего значения при и это значение, вообще говоря, не будет нулем.

Следовательно, первый множитель соотношения (2) должен обратиться в нуль, и мы имеем

Другими словами, уравнения влекут за собой уравнения (1). Таким образом, мы можем считать функцией переменных и когда она будет иметь максимумы как функция переменных она будет также иметь максимумы как функция переменных .

Я назвал значения и которые соответствуют периодическому решению с периодом соответствующие значения будут и (если в периодическом решении с периодом Т переменная у меняется на в соответствии с предположениями п. 322).

Пусть соответствующее значение положим

и будем считать V функцией и величин и ?); функция V будет находиться в тех же самых условиях, что и функция V предыдущего пункта.

Действительно, каково бы ни было функция V и ее первые производные по обращаются в нуль, когда

Если рассмотреть совокупность членов V второй степени относительно величин и считать эту совокупность квадратичной формой, состоящей из суммы квадратов, то мы увидим, что два из коэффициентов при этих квадратах переходят от отрицательных значений к положительным или от положительных значений к отрицательным, когда изменяет знак, и что другие коэффициенты не обращаются в нуль.

Действительно, выражение

меняет знак, а другие выражения

не обращаются в нуль. Коэффициент, который в п. 323 я назвал также не обращается в нуль и притом других коэффициентов нет, так как мы имеем только переменных — переменные ().

Таким образом, мы находимся в условиях предыдущего пункта и можем утверждать, что уравнения

допускают вещественные решения, отличные от решения или, что то же, что уравнения

допускают вещественные решения, отличные от решений, соответствующих периодическому решению с периодом Т.

Но максимумы функции или вообще решения уравнений (1) соответствуют периодическим решениям с периодом

Таким образом, мы должны заключить, что наши дифференциальные уравнения допускают периодические решения с периодом отличпые от решения с периодом Т, сливающиеся с этим решением при и очень мало отличающиеся от него при близком к

Если мы обратим внимание на предыдущее рассуждение, то увидим, что не требуется, чтобы периодическое решение с периодом Т соответствовало максимуму

Итак, мы сможем предположить, что

Не требуется даже, чтобы решение с периодом Т было устойчивым; достаточно, чтобы один из характеристических показателей при был равен

Таким образом, мы приходим к следующему результату.

Если уравнения динамики допускают такое периодическое решение с периодом Т, что один из характеристических показателей близок к

то они будут также допускать периодические решения с периодом мало отличающиеся от решения с периодом Т и сливающиеся с ним, когда характеристический показатель становится равным

Это решения второго рода [15].