Связь инвариантов с уравнением в вариациях

242. Возьмем снова систему

Мы можем составить соответствующие уравнения в вариациях в том смысле, как они были определены в начале главы IV.

Для того чтобы составить эти уравнения, заменяем в уравнениях (1) на и пренебрегаем квадратами таким образом находим систему линейных уравнений

Между интегралами уравнений (2) и интегральными инвариантами уравнений (1) имеется внутренняя связь, которую легко заметить.

Пусть

— какой-либо интеграл уравнений (2). Это будет однородная функция относительно и, кроме того, зависящая каким-либо образом от х. Я всегда смогу предположить, что эта функция F однородна относительно степени 1, ибо если бы это было не так, то стоит лишь возвысить F в подходящую степень, чтобы найти однородную функцию степени 1. Рассмотрим теперь выражение

я говорю, что это интегральный инвариант системы (1).

Я замечаю сначала, что величина под знаком интеграла

есть бесконечно малая первого порядка, поскольку величины бесконечно малые первого порядка, и что однородная функция первого порядка относительно этих количеств.

Интеграл (3), следовательно, конечен.

Установив это, допустим сначала, что фигура сводится к бесконечно малой линии, концы которой имеют следующие координаты:

Интеграл (3) сведется к единственному элементу и, следовательно, будет равен

Это выражение, будучи интегралом уравнений (2), останется постоянным и будет иметь одно и то же значение для линии и для линии F.

Если теперь линия и, следовательно, линия F конечны, мы разбиваем линию на бесконечно малые части. Интеграл (3), распространенный на одну из этих бесконечно малых частей линии будет равен

интегралу (3), распространенному на соответствующую бесконечно малую часть линии F. Интеграл, распространенный целиком на всю линию будет равен интегралу (3), распространенному целиком на всю линию F.

Итак, интеграл (3) есть интегральный инвариант, что и требовалось доказать.

Обратно, допустим, что (3) — интегральный инвариант первого порядка; я говорю, что

будет интегралом уравнений (2).

Действительно, интеграл (3) должен быть одним и тем же для линии и для линии F, каковы бы ни были эти линии, и, в частности, если сводится к бесконечно малому элементу, концы которого имеют координаты

Тогда интеграл (3) сводится, как мы это уже видели, к

Поскольку интеграл есть инвариант, это выражение (4) должно быть постоянным.

Итак, это есть интеграл уравнений (2), что и требовалось доказать.

243. Посмотрим теперь, чему соответствуют инварианты порядка выше первого.

Рассмотрим какие-нибудь два частных решения уравнений (2); пусть

— эти два решения.

Могут существовать функции

которые одновременно зависят от и Е и которые сводятся, каковы бы ни были выбранные два решения, к постоянным, не зависящим от времени. Другими словами, функция F будет интегралом системы

которой удовлетворяют

Сделаем более частную гипотезу и предположим, что F имеет вид

где функции только от х.

Тогда я утверждаю, что двойной интеграл

есть интегральный инвариант уравнений (1).

Предположим, в самом деле, что фигура сводится к бесконечно малому параллелограмму, координаты вершин которого имеют значения

взятые при

Фигура F также будет подобна бесконечно малому параллелограмму, координаты вершин которого имеют значения

взятые при

Интеграл сводится к единственному элементу, значение которого в точности равно

и, так как это выражение по предположению есть интеграл системы то он будет иметь одно и то же значение для обеих фигур

Предположим теперь, что две конечные поверхности; разложим на бесконечно малые параллелограммы, каждому из которых будет соответствовать элементарный параллелограмм на F. Значение одно и то же для каждого элемента на и для соответствующего элемента на следовательно, оно опять одинаково для всей поверхности и для всей поверхности F.

Итак, интеграл есть интегральный инвариант.

Обратное утверждение можно было бы доказать так же, как и в предыдущем пункте.

244. Очевидно, эта теорема является общей и применима к инвариантам порядка выше второго. Сформулируем ее еще раз для инвариантов

третьего порядка. Рассмотрим три частных решения уравнений (2), эти три решения должны удовлетворять системе

Если система (7) допускает интеграл вида

где коэффициенты функции от x, то тройной интеграл

будет интегральным инвариантом уравнений (1), и наоборот [3].