Замены переменных

253. При любой замене переменных не затрагивающей переменной которая представляет время, необходимо только применить к интегральным инвариантам обычные правила замены переменных в простых или кратных определенных интегралах. Мы уже делали это несколько раз.

Однако замена переменной представляет ббльшую трудность.

A priori могло бы даже показаться, что это преобразование не должно вести ни к какому результату.

И действительно: рассмотрим систему

Введем новую переменную определяемую соотношением

где заданная функция от

Система (1) превратится в

Предположим, что начальные значения представляют собой координаты некоторой точки пространства измерений.

Если движение этой точки определяется уравнениями (1), где представляет время, то эта точка в момент придет в М.

Если движение, напротив, определяется уравнениями (2), где представляет время, то точка в момент придет в М.

Рассмотрим теперь фигуру занятую в нулевой момент различными точками

Если движение и деформация этой фигуры определяются уравнениями (1), то в момент она превратится в новую фигуру F.

Если движение определяется уравнениями (2), то фигура в момент превратится в новую фигуру F, отличную от

не только будет отличной от но она не будет также совпадать, вообще говоря, с каким-либо из положений, занимаемых F в момент, отличный от момента

Поэтому кажется, что параметры проблемы основательно изменены, и мы не должны ожидать, чтобы из инвариантов (1) можно было вывести инварианты (2).

Вот что, однако, происходит с инвариантами порядка

Совершим замену переменных п. 237; система (1) превратится

а система (2) — в

где предполагается, что должна быть выражена в функции от Теперь положим

где интегрирование выполняется по z (у рассматриваются как постоянные). а нижний предел может зависеть от у.

Система (2) примет вид

и будет иметь ту же форму, что и

Пусть тогда

есть инвариант порядка уравнений (1); при помощи замены переменных п. 237 он станет

где якобиан х относительно у и должно быть функцией от у. Тогда

будет инвариантом уравнений

будет инвариантом уравнений и, наконец,

будет инвариантом уравнений (2).