Различные замечания

253his. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

и их уравнения в вариациях

Предположим, что уравнения (1) допускают интегральный инвариант первого порядка

выражение будет интегралом уравнений (2).

С другой стороны, эти уравнения (2) будут допускать в качестве решения

где любая бесконечно малая постоянная [4].

Действительно, пусть

есть какое-либо решение уравнений (1); если очень малая постоянная, то

опять будет решением уравнений (1), и

будет решением уравнений (2).

Отсюда следует, что

должно быть постоянно.

Следовательно, является интегралом уравнений (1).

Предположим теперь, что уравнения (1) допускают интегральный инвариант второго порядка

Тогда

будет интегралом уравнений (2) и уравнений которые выводим из (2), заменяя на

Положим

где постоянная. Это позволительно, так как решение (2bis).

Тогда

будет интегралом (2); это показывает, что

— интегральный инвариант первого порядка уравнений (1).

Итак, этот способ позволяет найти инвариант порядка когда известен инвариант порядка иногда эта методика может быть

иллюзорной, так как инвариант, полученный таким образом, может быть тождественным нулем.

Рассмотрим теперь инвариант следующего вида:

где А и В — функции от х; в дальнейшем мы встретимся с инвариантами этого вида.

Тогда

будет интегралом уравпений (2); отсюда следует, что выражение

должно быть постоянным.

Пусть для краткости

выражение

должно быть постоянным, что влечет за собой условие

или

где функции от х. Следовательно, то же относится и к

Следовательно, тождество (3) будет выполняться только, если имеем тождественно

и

Первое из этих соотношений показывает нам, что интеграл уравнений (1).

. Пусть

есть интеграл уравнений (2); функция Ф должна быть некоторой формой, т. е. целым и однородным полиномом относительно коэффициенты которого как-то зависят, кроме того, от

Пусть степень этого полинома. Выражение

(где Ф есть не что иное, как Ф, где заменены дифференциалами как я утверждаю, будет интегральным инвариантом уравнений (1).

При этих предположениях пусть I означает какой-нибудь инвариант формы Ф.

Совершим замену переменных п. 237; уравнения (1) этого пункта примут вид

и, если обозначить через и вариации то уравнения в вариациях системы приведутся к

В этих новых переменных Ф превратится в форму целую, однородную и степени относительно и коэффициенты могут быть любыми функциями от но, согласно теореме п. 237, поскольку мы имеем дело с интегральным инвариантом, эти коэффициенты не могут зависеть от z.

Величины являются функциями от у и z, и мы выводим отсюда следующие соотношения между вариациями:

Следовательно, Е являются линейными функциями от и С, и определитель линейных уравнений (4) будет не чем иным, как якобианом х относительно у и z, якобианом, который я обозначаю через

Таким образом, мы переходим от формы Ф к форме посредством линейной подстановки (4), определитель которой равен

Пусть инвариант , который соответствует инварианту I формы мы будем иметь

где степень инварианта.

Но функция коэффициентов и, следовательно, функция у, не зависящая от z; следовательно, это — интеграл уравнений (1).

Пусть М — последний множитель уравнений (1), так что мы имеем

и

— интегральный инвариант порядка

Мы видели в п. 252, что будет интегралом уравнений (1). Следовательно,

будет интегралом уравнений (1). Следовательно, каждому инварианту формы Ф соответствует интеграл этих уравнений.

Пусть теперь С — некоторый ковариант формы Ф степени относительно коэффициентов формы относительно переменных Если соответствующий ковариант то будем иметь

Коэффициенты являются функциями коэффициентов , следовательно, они не зависят от это же будет и для коэффициентов

следовательно, является интегралом уравнений (2); следовательно,

где С есть не что иное, как С, где заменены на интегральный инвариант уравнений (1).

Итак, вот средство для построения большого числа интегральных инвариантов; заслуживает внимания частный случай, когда равно нулю (т. е. случай инвариантов или ковариантов, называемых абсолютными); если С, например, есть абсолютный ковариант Ф, то

будет интегральным инвариантом уравнений (1). Следовательно, можно образовать новый интегральный инвариант, не зная последнего множителя М.

Та же методика применяется к интегральным инвариантам высшего порядка. Пусть, например,

— интегральный инвариант второго порядка.

С этим интегральным инвариантом связана билинейная форма

которая является интегралом уравнений (2) и (2bis).

Всякий инвариант или ковариант этой формы, умноженный на подходящую степень М, будет интегралом уравнений (2), (2bis) и, следовательно, породит новый интегральный инвариант.

Таким же образом, если имеется система интегральных инвариантов, мы выведем из нее систему форм, подобных Ф, которые будут интегралами уравнений (2), (2bis). Всякому инварианту этой системы форм будет соответствовать интеграл уравнений (1); всякому коварианту этой системы форм будет соответствовать интегральный инвариант уравнений (1).

Пусть, например, две квадратичные формы относительно — то, чем они становятся, если заменить в них на

Предположим, что интегралы уравнений (2) и что, следовательно,

— интегральные инварианты системы (1).

Рассмотрим форму

где неопределенный множитель. Приравняв дискриминант этой формы нулю, мы получим алгебраическое урапыенио степени относительно X, корни которого будут, очевидно, абсолютными инвариантами системы форм Следовательно, они будут интегралами уравнений (1).

Но это не все; пусть эти корни, тогда F и могут быть представлены в виде

где — линейные формы, которые можно определить чисто алгебраическими операциями. можно рассматривать как коварианты нулевой степени системы так что

— интегральные инварианты уравнений (1), если обозначить через результат замены в переменных Е, дифференциалами

Однако существует исключение, если уравнение относительно X имеет кратные корни. Если, например, равно то нельзя утверждать более, что

— интегральные инварианты, а только что

— интегральный инвариант.

Пусть теперь

— два интегральных инварианта второго порядка.

Две билинейные формы

будут интегралами (2) и (2bis).

Самый интересный случай тот, когда четно; пусть, следовательно,

Рассмотрим форму

и приравняем ее определитель нулю. Мы получим алгебраическое уравнение относительно X степени но левая часть этого уравнения есть полный квадрат, так что оно приводится к уравнению порядка Его корней

будут по той же причине, что и выше, интегралами уравнений (1).

Теперь можно представить в виде

где линейных полиномов относительно с, а те же полиномы, в которых заменены на

Тогда выражения

будут ковариантами системы и, следовательно, интегралами уравнений (2), (2bis), которым будут соответствовать интегральные инварианты.

Если уравнение относительно X имеет кратные корни, то будет иметь место исключение.

Если имеем, например,

то уже нельзя утверждать, что два выражения

— интегралы уравнений (2), (2bis), но только что их сумма

— интеграл уравнений (2), (2bis).