Приложение к задаче двух тел

270. Предыдущие рассуждения прилагаются, в частности, к задаче двух тел. Рассмотрим планету и Солнце и отнесем планету к осям с фиксированным направлением, проходящим через Солнце; рассмотрим, следовательно, относительное движение планеты по отношению к Солнцу.

Пусть три координаты планеты; три составляющие количества движения.

Пусть — три координаты планеты, отнесенные к особым осям, а именно, к большой оси орбиты, параллели малой оси и перпендикуляру к плоскости орбиты; мы будем иметь

где постоянные, связанные хорошо известными соотношениями, выражающими ортогональность преобразования координат.

Таким же образом будем иметь

где — масса планеты.

Теперь ясно, что нуль и что — функции единственного аргумента являющегося средней аномалией, и двух постоянных — большой оси а и эксцентриситета

С другой стороны, функции трех углов Эйлера, или, более общб, каких-либо трех функций этих трех углов.

Таким образом, функции

Тогда будем иметь, называя С постоянной живых сил и средним движением,

а с другой стороны, выражения

должны быть независимы от

Некоторые из этих высказываний были очевидны заранее и не доставляют нам нового контроля.

Действительно, такие линейные функции коэффициенты которых зависят от что

Отсюда вытекает, что мы можем написать следующее тождество:

где а — любые постоянные, заданные функции также будем иметь

Отсюда следует, что мы имеем

Это выражение должно сводиться к постоянной, не зависящей от и, так как мы имеем три аналогичных соотношения, которые получаются, если положить мы можем написать

Но это не новый результат; это уравнения площадей.

Изучим теперь выражение

Посмотрим, как х и у зависят от а. Величины х содержат а множителем, а у содержат ибо имеем

Следовательно, имеем

Следовательно, наше выражение превращается в

Легко проверить, что оно равно нулю; действительно, имеем согласно третьему закону Кеплера,

откуда

Мы и здесь не получаем таким образом нового способа контроля.

Остается изучить два выражения

Мы должны проварьировать только поэтому не должны больше варьировать т. е. направление большой оси орбиты. Следовательно, можем выбрать особые (орбитальные) оси и положить

Функции функции Бесселя; под знаком 2 индекс принимает все целые значения от до за исключением значения 0.

Отсюда получим

Тогда выражение после сокращения на общий множитель принимает вид

Я писал всюду для краткости вместо

Мы доляшы иметь

Но

где обозначает массу Солнца, сложенную с массой планеты; следовательно,

и

Но так как

то получится

Приравнивая подобные члены, получим ряд соотношений между функциями Бесселя

Изучение выражения привело бы нас к ряду аналогичных соотношений, в которые на этот раз вошли бы функции Бесселя и их первые производные.

271. Можно было привести еще примеры частных приложений; можно было бы, например, после разбора, как мы это только что сделали в предыдущем пункте, случая кеплерова движения, т. е. после учета членов степени 0 относительно возмущающих масс, приложить те же принципы

к совокупности членов степени 1. Без всякого сомнения, мы пришли бы к интересным соотношениям.

Равным образом, можно было бы изучать по тому же способу уравнения вековых возмущений, которые рассмотрены в главе Тогда было бы выгоднее вместо интегрального инварианта

воспользоваться аналогичными инвариантами, которые определены в пунктах 261, 262, 263.

Мы оставим все эти вопросы в стороне.