Теоремы о максимумах

331. Для того чтобы идти дальше, необходимо доказать одно свойство максимумов; пусть У — функция трех переменных разложимая по возрастающим степеням этих трех переменных. Я предполагаю:

1) что при функция У обращается в нуль так же, как и ее производные и это имеет место, каково бы ни было z;

2) что при имеет максимум при и минимум при .

Я говорю, что уравнения

будут допускать вещественные решения, отличные от решения

Действительно, разложим У по степеням z, и пусть

Функции разложимы, в свою очередь, по степеням но эти разложения не будут содержать членов степени 0, ни членов степени 1, так как при любом z мы должны иметь

при

Кроме того, также не содержит членов второй степени, в противном случае при переходе от мы не смогли бы перейти от случая максимума к случаю минимума.

Напротив, будет содержать члены второй степени, по крайней мере, мы это предполагаем. Тогда рассмотрим уравнения

о разрешении которых идет речь.

Пусть члены наинизшей степени функций и согласно тому, что мы видели, второй степени, степени где больше двух; положим

Функцию можно разложить по степеням пусть

Очевидно, мы имеем

где два однородных полинома относительно и один — степени 2, другой — степени Я беру знак или — согласно тому, каким я принял Выражение

будет также разложенным но степеням когда мы заменим в нем и на оно будет содержать множителем определенную степень разделим его на этот множитель, и пусть Н есть частное. Это частное, будучи разложенным по степеням запишется в виде

будет первым из выражений

не обращающимся в нуль.

У равнения

можно заменить следующими:

и я докажу что можно найти величины у из этих уравнений в виде рядов, расположенных по целым и дробным степеням обращающихся в нуль вместе с с вещественными коэффициентами.

Для этого достаточно установить, согласно пунктам 32 и 33, что при эти уравнения допускают вещественное решение нечетного порядка.

Но при эти уравнения сводятся к

или

и

Уравнение (2) означает, что если предположить, что связаны соотношением то допускает максимум или минимум.

Но, если считать координатами точки на плоскости, то соотношение представит эллипс, так как квадратичная форма (и, следовательно, форма должна быть определенной, чтобы функция V могла допускать максимум или минимум. Но так как эллипс — замкнутая кривая, то функция должна иметь, по крайней мере, один максимум и один минимум, когда точка будет описывать эту замкнутую кривую.

Следовательно, каково бы ни было постоянное значение, присвоенное уравнение (2) будет допускать, по крайней мере, два корня, и притом два корня нечетного порядка, ибо мы видели в , что максимум или минимум всегда соответствует корню нечетного порядка. Впрочем, здесь, когда мы имеем только одну независимую переменную, теорема почти очевидна.

При этих условиях следует различать два случая.

Первый случай. не является степенью в этом случае мы не имеем тождественно

Следовательно, мы имеем и

Тогда уравнение однородно относительно Каково бы ни было постоянное значение, присвоенное оно даст нам для отношения одно и то же значение.

Таким образом, мы найдем сначала из уравнения (2) и согласно предыдущему получим, по крайней мере, два решения нечетного порядка.

Пусть одно из этих решений; положим и подставим в уравнение (3); получим

и уравнение (3) приведется к следующему:

Если нечетно, это уравнение даст для и вещественное значение

Если четное, следует различать два случая.

Если одного и того же знака, то мы возьмем нижний знак

Если противоположных знаков, мы возьмем верхний знак

и будем всегда иметь для и два вещественных значения.

Во всех случаях эти вещественные решения суть простые.

Таким образом, уравнения (2) и (3) всегда допускают решения нечетного порядка.

Второй случай. Мы имеем

В этом случае мы начнем с разрешения уравнения (3), которое записывается в виде

Это уравнение дает значение это значение вещественное и простое; но этого недостаточно, так как определенно-отрицательная форма; для того чтобы решение годилось, необходимо, чтобы найденное значение было отрицательным; следовательно, мы выберем знак

После такого определения значения мы приписываем это постоянное значение и для разрешения уравнения (2) мы должны только искать максимумы и минимумы функций Как мы видели, найдем, по крайней мере, два решения нечетного порядка.

Итак, мы установили, что уравнения (2) и (3) всегда имеют вещественные решения нечетного порядка. Таким образом, теорема, сформулированная в начале этого пункта, доказана.

332. Пусть теперь V — функция переменных

Я предполагаю:

1) что V разложима по степеням

2) что при

каково бы ни было z, мы имеем

3) рассмотрим совокупность членов V второй степени относительно х. Они представляют квадратичную форму, которую можно приравнять сумме квадратов с положительными или отрицательными коэффициентами.

Я предполагаю, что когда z переходит от положительных к отрицательным значениям, два из этих коэффициентов переходят от отрицательных к положительным значениям и что остальных коэффициентов не обращаются в нуль.

Я говорю, что при этих условиях уравнения

допускают вещественные решения, отличные от

В самом деле, разложим V по степеням z, и пусть

Пусть совокупность членов второй степени из и Совокупность является квадратичной формой, представимой в виде суммы квадратов, ибо мы знаем, что при два коэффициента, о которых шла речь выше, обращаются в нуль.

Таким образом, если мы рассмотрим дискриминант формы т. е. функциональный определитель от

по

то этот определитель, как и все его миноры первого порядка, обращается в нуль; однако не все миноры второго порядка обращаются в нуль, в противном случае третий коэффициент был бы нулем, чего мы не предполагаем.

Мы можем также предположить, что произведена такая линейная замена переменных, что принимает вид

и, следовательно, что функциональный определитель от

относительно

не равен нулю.

Рассмотрим теперь уравнения

которые представляют собою уравнения из (1).

Я говорю, что из них можно найти

в виде рядов, расположенных по степеням

Для этого достаточно, в силу п. 30, чтобы функциональный определитель уравнений относительно

не обращался в нуль, если положить

Но уравнении (2), если положить и ограничиться членами первой степени относительно х, приводятся к следующим:

и мы только что видели, что соответствующий функциональный определитель не равен нулю.

Заменим в функции V величины их значениями, найденными таким образом из уравнений (2); я говорю, что мы окажемся теперь в условиях предыдущего пункта.

1) действительно, мы имеем только три независимых переменных

2) функция V разложима по степеням этих переменных;

3) уравнения (1) можно заменить следующими:

где символ означает производные, взятые в предположении, что суть функции от определенные уравнениями (2).

В самом деле, мы имеем

откуда в силу уравнений (2)

4) при функция У, рассматриваемая как функция от имеет максимум, когда эти две переменные равны нулю.

Чтобы увидеть это, нам необходимо найти в У члены второй степени относительно и Пусть

— эти члены. Чтобы получить члены

только и интересующие меня, я беру два члена

и пренебрегаю остальными членами У, которые не могут повлиять на

Я нахожу из уравнений (2)

в виде рядов, расположенных по степеням я сохраняю в этих рядах только члены, которые имеют степень 1 относительно и степень 0 или 1 относительно z; другими членами можно пренебречь, ибо они не влияют на

Тогда уравнения (2) сведутся к

Если в мы подставим вместо значения, полученные таким образом, мы увидим, что станет делиться на что же касается то оно сведется к

где не что нное, как значение функции когда обращаются в нуль, и где две другие квадратичные формы от х. Итак, мы будем иметь

и

При вычислении я могу пренебречь двумя псоледними членами, которые делятся на и получу просто

Я докажу, что V имеет максимум при и при положительном и очень малом z; но достаточно показать это для т. е. для

Таким образом, окончательно остается доказать, что определенноотрицательная форма.

Для того чтобы убедиться в этом, запишем квадратичную форму их следующим образом:

сумма двух квадратов с коэффициентами, знак которых я не предрешаю; зависит только от переменных

Это всегда возможно в силу общих свойств квадратичных форм. Рассмотрим форму

где z предполагается положительным и очень малым. Форму зависящую только от переменных можно приравнять сумме квадратов с коэффициентами, знаки которых должны быть теми же, что и знаки поскольку эта форма очень мало отличается от так как z очень мало. Следовательно, они не изменяют знака, когда z переходит от положительных значений к отрицательным.

Согласно нашим предположениям, когда z переходит от положительных значений к отрицательным, наши коэффициента не обращаются

в пуль, а два коэффициента переходят, напротив, от отрицательных значений к положительным.

Эти два последних могут быть только коэффициентами формы

Таким образом, является суммой двух квадратов с отрицательными коэффициентами.

Чтобы получить необходимо в положить

Тогда обращается в нуль, сводится к Таким образом, определенно-отрицательная форма, что требовалось доказать.

Итак, функция V, рассматриваемая как функция от имеет максимум при положительном и очень малом z и при

Мы могли бы увидеть также, или, скорее, видим в то же время, что V имеет минимум при отрицательном и очень малом z и при

Таким образом, мы пришли, как я это утверждал, к условиям предыдущего пункта, и теорему, сформулированную в начале этого пункта, можно считать установленной.