Обобщение предыдущих результатов

297. До сих пор мы ограничивались весьма частным случаем несжимаемой жидкости, заключенной в сосуде, т. е., говоря аналитическим языком, уравнениями вида

где X, Y, Z - три функции, связанные между собой соотношением

и такие, что во всех точках замкнутой поверхности (поверхности сосуда) мы имеем

где направляющие косинусы нормали к этой замкнутой поверхности.

Все предыдущие результаты, однако, останутся верными и в гораздо более общих случаях; при этом ничего не надо менять ни в самих результатах, ни в рассуждениях, которые к ним приводят.

Пусть переменных удовлетворяют дифференциальным уравнениям

где любые однозначные функции, удовлетворяющие условию

так что уравнения (1) допускают интегральный инвариант

Я предполагаю, кроме того, что М — положительно; мы будем говорить тогда, что уравнения (1) допускают положительный интегральный инвариант.

Еще я предполагаю, что уравнения (1) таковы, что если точка находится в начальный момент внутри некоторой области V (играющей ту же роль, которую только что играл сосуд с заключенной в нем жидкостью), то она будет оставаться неопределенно долго внутри этой области.

Наконец, я предполагаю, что интеграл

распространенный на эту область, конечен.

В этих условиях, если рассматривается область содержащаяся в V, можно будет выбрать бесконечным числом способов начальное положение точки таким образом, чтобы эта точка пересекала эту область бесконечно много раз. Если этот выбор начального положения делается наудачу внутри то вероятность того, что точка не пересечет область бесконечное число раз, будет бесконечно мала.

Другими словами, если начальные условия не являются исключительными в смысле, который я придал этому слову выше, то точка пройдет бесконечно много раз сколь угодно близко от своего начального положения.

При этом в предыдущих доказательствах ничего не нужно изменять. Мы вновь найдем, например, неравенство

где означают интеграл (2), распространенный соответственно на области

Мы сможем вывести отсюда те же следствия; в самом деле, интеграл (2), будучи по предположению существенно положительным, обладает тем же свойством, что и объем, а именно, распространенный на всю область, он будет больше интеграла, взятого только по части этой области.

298. Как нам теперь узнать, существует ли такая область V, чтобы точка всегда оставалась внутри этой области, если она находилась в ней в начальный момент времени?

Предположим, что уравнения (1) допускают интеграл

Рассмотрим область V, определенную неравенствами

где две какие-нибудь постоянные, сколь угодно близкие друг другу.

Ясно, что если эти неравенства удовлетворяются в начальный момент времени, то они будут выполнены всегда. Следовательно, область V удовлетворяет поставленным условиям.