Обобщение предыдущих результатов

310. Выше мы сделали об уравнениях (1) очень частные предположения, но не все они одинаково необходимы.

В самом деле, рассмотрим односвязную область составляющую часть полуплоскости , и предположим, что мы каким-то образом узнали, что если точка находится в начальный момент времени в точке этой области, то переходит от 0 к постоянно возрастая,

когда возрастает от 0 до так что кривая, удовлетворяющая уравнениям (1) и проходящая через точку при ее продолжении от этой точки до ее нового пересечения с полуплоскостью никогда не будет касаться плоскости, проходящей через ось z.

Тогда мы сможем определить, как и в п. 305, последующую точки и ясно, что все предыдущее будет снова применимо к фигурам, находящимся внутри области

Кривые, удовлетворяющие уравнениям (1) и пересекающие полуплоскость вне области обязаны подчиняться требованию не соприкасаться с плоскостью, проходящей через ось z. Также не обязательно, чтобы было решением уравнений (1).

Тогда если замкнутая кривая внутри D и если ее последующая, то обе кривые будут внешними относительно друг друга или пересекаться.

Результаты п. 308 будут равным образом применимы к инвариантным кривым, не выходящим из области и если даже инвариантная кривая выходит из области D при ее достаточном продолжении, то результаты будут снова приложимы к той части этой кривой, которая лежит внутри этой области.

311. Рассмотрим теперь вместо плоской области D односвязную криволинейную область S. Проведем через точку этой криволинейной области кривую у, удовлетворяющую уравнениям (1), и продолжим эту кривую до тех пор, пока она снова не пересечет новая точка пересечения может быть опять названа последующей точки

Если мы рассмотрим две точки очень близкие друг к другу, то их последующие будут, вообще, очень близки друг к другу; исключение будет иметь место, если точка окажется на границе или если кривая касается поверхности в точке или в точке Кроме этих исключительных случаев, координаты являются аналитическими функциями координат точки

Чтобы избежать этих исключительных случаев, я рассмотрю область составляющую часть и такую, что кривая выходящая из точки внутри снова пересекает в точке которая никогда не попадает на границу такую также, что кривая у не касается ни в точке ни в Наконец, я предположу, что область D односвязна.

Примем частную систему координат, которую я назову, например, и о которой я предположу только следующее.

1. Когда будут меньше 1, прямоугольные координаты х, у и z будут аналитическими и однозначными функциями от и С, периодическими с периодом относительно С.

2. Одной точке пространства не может соответствовать более одной системы значений , такой, что,

3. При или и изменении от —1 до точка описывает поверхность или часть этой поверхности, заключающую в себе область

4. Из условий (1) и (2) вытекает, что функциональный определитель А от относительно х, у, z никогда не обращается ни в бесконечность, ни в нуль, когда выполняются неравенства (X).

5. Можно преобразовать уравнения (1), приведя их к виду

Я предположу, что остается положительным для

Уравнения будут допускать интегральный инвариант

а уравнения

будут допускать интегральный инвариант

Пусть какая-нибудь фигура, составляющая часть ее последующая; предположим, что различные точки смещаются таким образом, что остаются постоянными и что С возрастает от 0 до где очень малб; фигура породит объем а фигура объем интеграл

будет иметь одно и то же значение для и для следовательно, двойной интеграл

аналогичный интегралу (5) из п. 305, будет иметь одно и то же значение для Кроме того, он существенно положителен.

Отсюда вытекает, что результаты п. 306 применимы к замкнутым кривым , лежащим внутри и что результаты приложимы к инвариантным кривым К или, по крайней мере, к части этих кривых, лежащих внутри

Даже если инвариантная кривая покидает область D при достаточном продолжении, результаты будут приложимы к части этой кривой, лежащей внутри этой области.