Приложение к периодическим решениям

346. Если мы имеем дело с периодическим решением с периодом функции из предыдущего параграфа будут периодическими с периодом то же будет и для

Кроме того, уравнения в вариациях согласно главе IV будут допускать другие частные решения, имеющие вид

В этих уравнениях — постоянная, а и —а — характеристические показатели, периодические функции.

Пусть

— уравнение живых сил; мы должны будем иметь

где постоянная. Если в этом уравнении заменим на то левая часть станет периодической функцией от умноженной на а так как она должна быть постоянной, то необходимо, чтобы она была нулем.

Следовательно, получим

Это означает, что две бесконечно близкие траектории, уравнения которых суть

и

соответствуют одному и тому же значению постоянной живых сил.

То же самое можно было бы показать для траектории, уравнение которой есть

Приложение к периодическим решениям

346. Если мы имеем дело с периодическим решением с периодом функции из предыдущего параграфа будут периодическими с периодом ; то же будет и для

Кроме того, уравнения в вариациях согласно главе IV будут допускать другие частные решения, имеющие вид

В этих уравнениях — постоянная, а и —а — характеристические показатели, периодические функции.

Пусть

— уравнение живых сил; мы должны будем иметь

где постоянная. Если в этом уравнении заменим на то левая часть станет периодической функцией от умноженной на а так как она должна быть постоянной, то необходимо, чтобы она была нулем.

Следовательно, получим

Это означает, что две бесконечно близкие траектории, уравнения которых суть

и

соответствуют одному и тому же значению постояиной живых сил.

То же самое можно было бы показать для траектории, уравнение которой есть

мы знаем — это то, что периодическая функция, а отсюда просто вытекает, что

увеличивается на кратное например на когда увеличивается на Тогда разность

является периодической функцией.

Положим в таком случае

получим

Мы положим тогда не

и

так как будет периодической функцией, предыдущие выводы сохраняются, уравнение (3) запишется в виде

и, кроме того, будет фокусом М, если

348. Таким образом, оказывается доказанным одно из наших трех предположений, что должен быть периодическим. Теперь я говорю, что функция х должна быть, как мы это предположили, монотонно возрастающей.

Предположим, в самом деле, что эта функция допускает максимум при тогда мы сможем найти два таких момента что соответствующие значения функции х равны друг другу, и два других таких момента что наконец, таких, что эти пять моментов, и притом очень близких друг к другу, удовлетворяют неравенствам

Тогда будет фокусом фокусом но мы видели выше, что подобные неравенства невозможны, когда выполнено условие .

Я говорю теперь, что не может обратиться в нуль; действительно, мы имеем

Числитель и знаменатель комплексные сопряженные; если один из них обращается в нуль, то другой также обращается в нуль, так что функция не может стать ни нулем, ни бесконечностью.

Таким образом, оказываются доказанными все наши предположения.