Приложение к уравнениям динамики

319. Мне хотелось бы провести более полное исследование, связанное с уравнениями динамики; но для этого нужно сначала доказать одно важное свойство этих уравнений.

Пусть и значения и у. при пусть и значения при Мы знаем, что

— интегральный инвариант; следовательно, будем иметь

где двойной интеграл распространен на какую-нибудь область А.

Это можно записать так:

где интеграл распространен на границу области А, т. е. на какой-нибудь замкнутый контур.

Другими словами, выражение

есть полный дифференциал.

Отсюда следует, что

есть тоже полный дифференциал.

320. Если изменять Т, то ясно, что будет функцией от Т. Вычислим производную от по Т при помощи уравнений

Имеем

или

или, интегрируя по частям,

или, наконец,

Мы примем произвольную функцию от Т равной постоянной и будем иметь

При имеем и, следовательно,

Примем эту постоянную равной нулю, так что обратится в нуль тождественно при таким образом, функция определена полностью.

321. Будем искать максимумы и минимумы функции S. Будем сначала считать Т постоянной. Для того чтобы функция имела максимум или минимум, необходимо, в предположении, что эту функцию можно считать однозначной функцией переменных и в рассматриваемой области, необходимо, говорю я, чтобы ее производные но этим переменным были равны нулю, т. е. чтобы было

Следовательно, соответствующее решение является периодическим решением с периодом Т, и этот период Т здесь является одним из параметров задачи.

Не будем более считать Т заданной величиной; для того чтобы имела максимум или минимум, необходимо, чтобы было

и, кроме того,

Но если то остается

откуда

Соответствующее решение снова будет периодическим с периодом Т.

Но период Т не будет более параметром задачи; в этом случае заданной будет постоянная живых сил С, которая не встречалась в предыдущем случае.

Два способа разыскания максимумов связаны с двояким пониманием принципа наименьшего действия — принципа Гамильтона и принципа Мопертюи. Это станет более понятным после чтения следующей главы.

322. Определение функции может быть изменено также следующим образом.

Очень часто в приложениях периодическая функция с периодом относительно В этом случае решение можно также считать периодическим, когда а величина кратна .

Тогда ясно, что если мы положим

где какие-нибудь целые числа, то выражение снова будет полным дифференциалом.

При этом мы найдем

Примем

При имеем

Примем

что завершает определение функции 5.

Максимумы и минимумы в предположении, что период Т задан, получаются приравниванием нулю ее производных, что дает

Соответствующее решение снова является периодическим, поскольку величина кратна Период Т задан.

Если Т не задано, то необходимо сначала, чтобы было

и, кроме того, чтобы

откуда

323. Теперь нам нужно научиться распознавать истинные максимумы и истинные минимумы действительно, до сих пор мы искали условие того, чтобы первые производные от были равны нулю; но известно, что этого условия недостаточно, чтобы существовал максимум; надо еще, чтобы вторые производные удовлетворяли определенным неравенствам.

Предположим сначала, что мы находимся в условиях п. 319, и будем считать Т заданным.

Пусть

— периодическое решение с периодом Г, так что

Этому решению может соответствовать максимум или минимум функции S.

Пусть

— два решения, очень мало отличающиеся от этого периодического решения.

Я предположу, что достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их квадратами и считать эти количества удовлетворяющими уравнениям в вариациях (ср. главу IV).

Пусть и значения при и У — значения при

Для того чтобы узнать, имеет ли максимум или минимум, достаточно изучить совокупность членов второй степени в разложении по степеням

Но легко видеть, что эта совокупность членов сводится к

Изучим выражение

Согласно п. 56, это выражение должно сводиться к постоянной. Каков вид общего решения уравнений в вариациях?

Если имеется степеней свободы, мы будем иметь частных решений вида

Величипы характеристические показатели, периодические функции с периодом Т.

Мы будем иметь еще решений вида

соответствующих показателям которые равны показателям и противоположны им по знаку.

Мы будем иметь очевидное решение

и, наконец, частное решение будет

Следовательно, общее решение можно записать в виде

где А, В, С, D - постоянные интегрирования.

Мы будем иметь также

с аналогичной формулой для

Величины новые постоянные.

Подставим эти значения в выражение (1); это выражение станет билинейиой формой относительно двух рядов постоянных

Так как эта форма должна обращаться тождественно в нуль при

то она будет линейной формой относительно определителей, содержащихся в матрице

Коэффициенты этой линейной формы должны быть постоянными, поскольку выражение (1) должно приводиться к постоянной.

Вообще говоря, ни один из характеристических показателей не будет нулем и никакие два из этих показателей не будут равны между собой.

(страница пропущена)

откуда

324. Для рассмотрения уравнения (3) необходимо различать несколько случаев:

1. Показатели вещественны; тогда функции

также вещественны.

2. Показатели чисто мнимые, и квадрат вещественное отрицательное число.

Тогда функции и -комплексные сопряженные числа.

3. Показатели комплексные. Тогда среди характеристических показателей будем иметь показатели которые будут комплексными сопряженными с показателями а

будут комплексными сопряженными с

Предположим теперь, что величины и у. вещественны. Для вычисления постоянных А, В, С, D будем иметь уравнений, которые получатся, если в уравнении, дающем положить, например,

Эти уравнений линейны относительно неизвестных А, В, С, D. Правые части вещественны, а коэффициенты — вещественные или комплексные попарно сопряженные.

Если заменить на то

1) не меняются, если вещественное число;

2) взаимно меняются местами, если чисто мнимое число;

3) переходят в если комплексное число, сопряженное с

Итак:

1) вещественны, когда як вещественно;

2) комплексные сопряженные, когда чисто мнимое число;

3) - комплексные сопряженные, когда комплексное число, сопряженное с

Наконец, вещественны.

Эти условия, кроме того, достаточны, чтобы были вещественны.

Дадим постоянным так же, как и постоянным значения, удовлетворяющие этим условиям. Тогда правая часть (2) должна быть вещественной; а для того чтобы это было так, необходимо:

1) чтобы было вещественным, если вещественное число;

2) чтобы было чисто мнимым, если чисто мнимое число;

3) чтобы и были комплексными сопряженными, если и комплексные и сопряженные.

Форма (3) содержит член

и не содержит других членов, зависящих от или

Если показатель вещественное число, то присутствия члена с достаточно, чтобы квадратичная форма (3) не могла быть определенной.

Таким образом, если хотя бы один-единственный показатель веществен, то функция не может иметь ни максимума, ни минимума.

Предположим теперь, что два показателя и комплексные и сопряженные.

Обратим в нуль все постоянные, исключением

тогда форма (3) примет вид

Эти два члена — комплексные сопряженные, так что форма (3) вещественна.

Предположим, что не изменяется, а меняет знак; комплексно сопряженное с также не изменится, а В, комплексно сопряженное с изменится на —В.

Следовательно, форма (3) изменит знак; таким образом, она не может быть определенной.

Итак, если один из показателей комплексный, функция не может иметь ни максимума, ни минимума.

Предположим теперь, что чисто мнимое число. Тогда комплексно сопряжены, а произведение равно сумме двух квадратов.

Для того чтобы функция имела максимум, необходимо и достаточно, чтобы все количества

были отрицательны; для того чтобы имела минимум, необходимо и достаточно, чтобы все эти количества были положительны.

Важно заметить, что все эти количества вещественны, так как и вещественны.

325. Как изменятся эти результаты, если предположить, что постоянная живых сил рассматривается как один из фиксированных параметров задачи? Тогда мы имеем тождественно

где предполагается, что в величины и у. заменены периодическими функциями

Действительно, постоянное значение функции F должно быть одним и тем же для периодического решения

и для бесконечно близкого решения

Это соотношение является линейным уравнением, связывающим постоянные

коэффициенты которого должны быть независимыми от

Отсюда вытекает, что не должны фигурировать в этом соотношении, поскольку эти постоянные всегда умножаются на а эта показательная функция не может исчезнуть.

Кроме того, С также не фигурирует в нем, поскольку решение

где С — очень малая постоянная, получается из периодического решения, если дать времени бесконечно малое приращение С, и соответствует, следовательно, тому же значению постоянной живых сил, что и периодическое решение.

Наше соотношение, которое не может свестись к тождеству, приводится, таким образом, к равенству

Но если нуль, то член исчезает из формы (3).

Для того чтобы функция допускала максимум или минимум, необхо димо, таким образом, чтобы все количества

имели один и тот же знак.

Если имеется только две степени свободы, то существует только одна из этих величин.

Таким образом, если имеется только две степени свободы и если чисто мпимое, то функция всегда имеет либо максимум, либо минимум,

326. Предположим теперь, что мы находимся в условиях п. 322, так что

и будем считать Т постоянной. Чтобы функция имела максимум или минимум, необходимо прежде всего, чтобы существовало периодическое решение

где

В таком случае рассмотрим близкое решение

и ход рассуждений будет таким же, как выше; результаты те же.

Для существования максимума или минимума необходимо прежде всего, чтобы все показатели были чисто мнимыми; необходимо затем, чтобы все количества

были одного и того же знака.

Если считать постоянную живых сил заданной, то нуль, член — исчезает, и достаточно, чтобы все количества

были одного знака.

327. Что произойдет теперь, если уравнения допускают еще другие однозначные интегралы, отличные от интеграла живых сил, и если, следовательно, некоторые из характеристических показателей равны нулю?

Как увидим, и в этом случае можно провести рассуждения, аналогичные предшествующим.

Предположим, например, что наши уравнения допускают кроме интеграла живых сил еще однозначных интегралов

так что скобки составленные из пар этих интегралов, равны нулю. В таком случае мы знаем из п. 69, что характеристических

показателей равны нулю. Предположим, что все остальные показатели отличны от нуля.

Тогда мы будем иметь пар постоянных, аналогичных постоянным пар постоянных аналогичных постоянным .

Тогда форма (3) примет вид

где означает сумму членов, аналогичных члену

Если мы будем считать теперь значения наших интегралов заданными, то все постоянные будут нулями, члены исчезнут, и условием того, чтобы имела максимум или минимум, будет снова условие, чтобы все количества

были одного и того же знака.

Я, впрочем, не останавливаюсь на этом, ибо в случае задачи трех тел мы либо будем иметь дело с ограниченной задачей , либо сможем уменьшить число степеней свободы, употребляя методы пунктов 15 и 26.

Но в случае приведенных задач пунктов 9, 15 и 16 существует только один однозначный интеграл — интеграл живых сил — и только два показателя равны нулю, как мы это видели в .