Решения второго рода уравнений динамики

328. Заменим Т последовательно на функция определенная выше, зависит от пусть

Будем искать максимумы и минимумы функции считая период Т постоянным.

Если мы рассмотрим периодическое решение с периодом Т, то оно будет также периодическим решением с периодом Следовательно, первые производные равны нулю.

Для существования максимума или минимума необходимо, прежде всего, чтобы все показатели были чисто мнимыми.

Если, далее, все количества

отрицательны, то будет максимум; если они все положительны, то мы будем иметь минимум.

Вот первый пункт, на который я хотел бы обратить внимание.

Если мы дадим целому всевозможные целые значения, то количеств (1), вообще говоря, дадут всевозможные комбинации знаков. Действительно, положим для краткости

и пусть

Дадим и тк всевозможные целые значения; если мы рассматриваем как координаты точки в пространстве измерений, то получим таким образом бесконечное число точек. Я говорю, что в любой сколь угодно малой части пространства измерений будет бесконечно много этих точек.

Для того чтобы это показать, я должен только обратиться к рассуждениям, с помощью которых устанавливается, что однозначная функция от вещественных переменных не может иметь различных периодов. Величины, записанные в таблице

играют в этом рассуждении роль периодов.

Мы имели бы исключение, если бы эти периоды не были независимыми, т. е. если бы одна из величин была соизмерима с или, если бы вообще существовала линейная комбинация z, допускающая только один период, т. е. существовало соотношение вида

где величины целые числа.

Оставим сначала в стороне этот исключительный случай; количества (1) будут равны

Сказать, что можно выбрать целое число так, чтобы эти количества составили комбинацию заданного знака, значит сказать, что имеются числа удовлетворяющие неравенствам вида

где величины равны 0 или

Но это как раз и вытекает немедленно из того, что мы только что сказали выше.

Перейдем к случаю, когда имеется соотношение вида (2). Мы всегда можем предположить, что целые числа взаимно простые; в этом случае выражение

допускает в качестве единственного периода

Для того чтобы не существовало чисел удовлетворяющих неравенствам (3), необходимо и достаточно, чтобы разность между наибольшим и наименьшим значением, которое принимает выражение (4), когда величинам дают все значения, совместимые с неравенствами (3), чтобы эта разность, говорю я, была меньше т. е. периода выражения (4).

Но эта разность, очевидно, равна

следовательно, мы должны иметь

Неравенство может иметь место только в том случае, если все равны нулю, за исключением одного из них, которое должно быть равно

В этом случае должно быть равно кратному 2 и; это означает, что должно быть нулем, поскольку определено только с точностью до кратного

Но мы как раз исключили случай, когда один из показателей равев нулю. Равенство может иметь место, только если все нули, за исключением двух из них, которые должны быть равны

Тогда сумма или разность двух из будет кратной 2 и и если мы заметим, что определены только с точностью до кратного мы можем сформулировать этот результат другим образом: два характеристических показателя будут равными.

Это единственный исключительный случай, который существует и который легко может быть исключен из рассмотрения.

329. Предположим теперь, что рассматриваемые уравнения динамики зависят от произвольного параметра подобно тому как это имеет место, как мы знаем, в задаче трех тел.

Когда мы непрерывно меняем периодическое решение

будет также меняться непрерывным образом, в чем можно убедиться при чтении главы III.

Количества также будут изменяться непрерывным образом, но, как было объяснено в п. 323, они никогда не смогут обратиться в нуль; следовательно, они всегда будут сохранять один и тот же знак; но как раз только их знак нас и интересует.

Постоянная живых сил будет считаться одним из фиксированных параметров задачи; этот параметр может зависеть от и мы выберем его так, чтобы период Т периодического решения оставался постоянным.

Показатели будут также изменяться непрерывно, когда мы будем непрерывно менять посмотрим, как происходит это изменение в случае задачи трех тел. При все показатели равны нулю; но как только перестает быть нулем, показатели также перестают быть равными нулю; один из этих показателей сможет обратиться в нуль, или стать равным кратному или стать равным другому характеристическому показателю только для определенных частных значений

330. Рассмотрим такое периодическое решение с периодом Т, что все показатели чисто мнимые; выше мы назвали это устойчивым решением; мы доказали существование этих решений в главах III и IV.

Рассмотрим один из показателей, например когда будет изменяться непрерывным образом, величина которая вещественна, будет бесконечно много раз становиться соизмеримой с

Дадим такое значение что

где к и взаимно простые целые числа, которые, кроме того, не соответствуют максимуму или минимуму величины

Мы увидим дальше, в п. 334, почему я пишу в числителе а не

На всяком сколь угодно малом интервале имеется бесконечное число подобных значений.

Если какое-нибудь целое число, то для этого значения выражение

равно нулю; кроме того, так как не соответствует максимуму или минимуму величины это выражение изменит знак, когда перейдет от

Предположим, например, что оно переходит от отрицательного значения к положительному.

Рассуждая, как в п. 328, мы увидим, что можно выбрать такое целое число что выражения

представляют все возможные комбинации знаков и, в частности, что все они отрицательны.

При этих предположениях при наша функция будет иметь максимум, поскольку все наши выражения будут отрицательными, но при периодическое решение не будет более соответствовать максимуму поскольку одно из этих выражений станет положительным.