Приложение к ограниченной задаче

299. Сейчас мы применим эти принципы к ограниченной задаче п. 9 [11]: нулевая масса, круговое движение двух других масс, нулевой наклон Если мы отнесем нулевую массу, движение которой изучаем, к двум осям, вращающимся вокруг общего центра тяжести двух других масс с постоянной угловой скоростью равной угловой скорости этих двух других масс; если обозначим через координаты нулевой массы относительно двух подвижных осей и через V — силовую функцию, то уравнения движения запишутся в виде

и мы видим тотчас, что они допускают положительный интегральный инвариант

С другой стороны, они допускают интеграл Якоби

где постоянная.

Поскольку сумма существенно положительна, то мы должны иметь

Следовательно, приходим к построению кривых

Левая часть соотношения (4) существенно положительна, так как мы имеем

где массы двух главных тел, и их расстояния от нулевой массы. Левая часть (4) обращается в бесконечность при при а также на бесконечности; следовательно, она должна иметь, по меньшей мере, один минимум и две точки, в которых ее две первые производные обращаются в нуль, не имея в них ни максимума, ни минимума.

Вообще, если имеется относительных минимумов или максимумов, мы будем иметь точек, в которых обе производные обращаются в нуль, но нет ни максимума, ни минимума.

Однако очевидно, что эти точки, в которых обе производные обращаются в нуль, соответствуют тем частным решениям задачи трех тел, которые Лаплас изучал в главе VI его книги X «Небесная механика».

Но мы получаем две из этих точек, строя на равносторонний треугольник либо сверху, либо снизу от прямой которую мы принимаем за ось ?. Третья вершина этого треугольника является одним из решений задачи.

Все другие точки, удовлетворяющие задаче, лежат на оси Е. Легко видеть, что левая часть (4), когда меняется от до представляет три и только три минимума, первый — между бесконечностью и массой второй — между обеими массами третий — между бесконечностью и массой

Действительно, производная обращается в нуль (при только один раз в каждом из этих интервалов, поскольку она является суммой трех членов, которые все возрастают.

Уравнения

которые выражают тот факт, что две производные левой части (4) равны нулю, имеют, следовательно, только пять решений, а именно, точки вершины равносторонних треугольников, точки расположенные на оси ?; мы предположим, что эти точки встречаются в следующем порядке

Остается узнать, какие из этих точек соответствуют минимуму; мы знаем заранее, что их существует две.

Заметим, что если мы заставим меняться непрерывным образом обе массы то любая из пяти точек всегда будет соответствовать минимуму или же не будет ему соответствовать никогда.

В самом деле, от одного случая к другому можно перейти, только если гессиан левой части (4) обратится в нуль, если две точки совпадают, чего не произойдет никогда.

Следовательно, достаточно будет изучить частный случай, например тот, когда

В этом случае из соображений симметрии можно предугадать, что оба решения должны быть одной и той же природы, так же, как и оба решения следовательно, только или же только соответствуют минимуму. Итак, не соответствует минимуму.

Можно установить, что не соответствует минимуму.

Следовательно, оба минимума соответствуют решениям

Предположим теперь, что намного меньше что представляет собой случай, имеющий место в природе.

Для достаточно больших значений кривая

будет состоять из трех замкнутых ветвей: окружающей окружающей охватывающей Для меньших значений она будет содержать две замкнутые ветви: охватывающую окружающую

Для еще более малых значений мы имели бы единственную замкнутую ветвь, оставляющую снаружи и охватывающую

Наконец, для еще более малых значений мы будем иметь две симметричные одна другой замкнутые ветви, охватывающие соответственно

То, что мы сейчас скажем, будет применимо только к двум первым случаям; следовательно, два последних случая мы оставим в стороне.

В первом случае множество точек, удовлетворяющих неравенству (4), распадается на три частичных множества: множество точек, внутренних по отношению к множество точек, внутренних по отношению к множество точек, внешних по отношению к

Во втором случае множество точек, удовлетворяющих (4), распадается на два частичных множества: множество точек, внутренних по отношению к множество точек, внешних по отношению к

То, что мы сейчас скажем, неприложимо ни к множеству точек, внешних по отношению к в первом случае, ни к множеству точек, внешних по отношению к во втором случае.

Напротив, оно будет приложимо в первом случае к множеству точек, внутренних по отношению к или к множеству точек, внутренних по отношению к и во втором случае — к множеству точек, внутренних по отношению к

Для определенности рассмотрим первый случай и множество точек, внутренних по отношению к

В этом случае мы возьмем в качестве области V область, определенную неравенствами

Предположим, что очень малб и что имеет такое значение, что мы находимся в условиях первого случая; наконец, для завершения определения области V поместим точку внутрь кривой

Тогда ясно, что если точка находится в области V в начальный момент времени, то она останется там навсегда.

Чтобы показать, что результаты предыдущих пунктов применимы к случаю, который нас интересует, остается показать, что интеграл

распространенный на область У, конечен.

Каким образом этот интеграл может стать бесконечным? Так как кривая замкнута, то и ограничены; следовательно, интеграл может стать бесконечным, только если бесконечны. Но в силу неравенств (5) могут стать бесконечными, только если

станет бесконечным, или, поскольку ограничены, если V станет бесконечным.

Но V становится бесконечным при и при Но так как точка внешняя по отношению к то мы должны исследовать только случай

Итак, оценим ту часть интеграла, которая лежит в окрестности точки Если очень малб, то сумма очень близка к член также близок к постоянной; так что, если положим

Н можно будет считать постоянной.

Тогда, если положим

то неравенства (5) примут вид

и интеграл (2) примет вид

Мы присоединим к неравенствам неравенство

где а — очень малб, поскольку речь идет о том, чтобы оценить часть интеграла, лежащую в окрестности а оставшаяся часть наверняка конечна.

Если проинтегрируем сначала по и по то интеграл (2bis) примет вид

Проинтегрируем сначала по Необходимо вычислить интеграл

взятый в пределах

Следовательно, интеграл приводится к интегралу

следовательно, он конечен.

Теоремы, доказанные выше, применимы, следовательно, к интересующему нас случаю. Нулевая масса пройдет бесконечное число раз сколь угодно близко от своего начального положения, если не налагаются некоторые исключительные начальные условия, вероятность которых бесконечно мала.

Следовательно, если в ограниченной задаче допустить, что начальные условия таковы, что точка должна оставаться внутри замкнутой кривой или то первое из условий устойчивости, в смысле , оказывается выполненным.

Но, более того, равным образом выполнено третье условие: следовательно, имеет место устойчивость по Пуассону.

300. Очевидно, результат будет тем же, каков бы ни был закон притяжения.

В самом деле, если движение материальной точки определяется уравнениями

или в случае относительного движения уравнениями

так что интеграл живых сил записывается в виде

и если функция V и постоянная таковы, что значения остаются ограниченными, то будет иметь место устойчивость по Пуассону.

Но это не все, то же самое будет в более общем случае.

Пусть координаты материальных точек.

Пусть V — силовая функция, зависящая от этих переменных.

Пусть соответствующие массы, так что мы обозначаем через или через массу материальной точки, координаты которой суть

Уравнения запишутся в виде

а интеграл живых сил будет иметь вид

Если функция V и постоянная таковы, что в силу этого равенства координаты ограничены, то мы будем иметь устойчивость по Пуассону.

Действительно, речь идет о том, чтобы доказать, что интегральный инвариант

конечен, когда интегрирование распространено на область, которую я назвал V и которая определяется неравенствами

Обозначим через А интеграл

взятый по области, определенной неравенством

Этот же интеграл, распространенный на область

очевидно, будет равен

Взятый по области, определенной неравенствами (1), он будет равен

или, поскольку очень мало,

Следовательно, интегральный инвариант равен

причем интегрирование должно быть распространено на все такие точки, чтобы выражение было положительным.

Согласно моему предположению, область ограничена.

В таком случае будет легко узнать, является ли интеграл (2) конечным или бесконечным.

Он всегда будет конечным, если ибо в этом случае показатель степени равен нулю.

Предположим теперь, что что выражение становится бесконечно большим порядка когда расстояние между двумя точками становится бесконечно малым первого порядка. Тогда величина под знаком интеграла в (2) будет порядка

Многообразие

имеет измерения; интеграл имеет порядок условие того, чтобы интеграл был конечен, записывается, следовательно, в виде

откуда

Это условие того, чтобы имела место устойчивость по Пуассону.