Применение кенлеровых переменных

261. Инвариант четвертого типа из п. 256 может быть получен в другом виде.

Пусть имеем любую систему канонических уравнений:

Рассмотрим следующий интеграл, взятый вдоль дуги какой-либо кривой:

Предположим, что мы записываем уравнения дуги кривой, вдоль которой происходит интегрирование, выражая х и у в функции параметра я, и что значения этого параметра, которые соответствуют концам дуги, — Интеграл будет равен

Предположим, что мы рассматриваем нашу дугу кривой как фигуру F предыдущей главы, которая меняется с временем и сводится к при

Тогда х, у и функции от и у, такие, как будут функциями а и

Мы придем к

или

Интегрируя по частям, получим Но

Но

следовательно,

Если мы предположим, что однородная функция степени относительно х, то придем к равепству

Пусть тогда С — постоянная живых сил, такая, что уравнение живых сил записывается в виде

Пусть значения этой постоянной, которые соответствуют и будем иметь

Следовательно, F не является инвариантом в собственном смысле слова; но его производная по времени постоянна и, если пользоваться выражением, определенным в предыдущем параграфе, — это инвариант четвертого типа

262. Предположим теперь, что F представляет некоторый иной вид однородности.

Разделим пары сопряженных переменных на два класса и обозначим через пары сопряженных переменных первого класса, через пары сопряженных переменных второго класса.

Я предполагаю, что однородная функция степени относительно так что имеем

Положим тогда

или

откуда

или

или, после интегрирования по частям,

или

или, наконец,

что показывает, что опять является инвариантом четвертого типа.

263. Применим предыдущее к задаче трех тел и посмотрим, какой вид примет инвариант из п. 256 при различном выборе переменных.

В п. 11 мы взяли в качестве переменных

F однородна степени относительно переменных первого рода, следовательно,

будет инвариантом.

Та же однородность имеет место, если за переменные принять, как в п. 12,

Следовательно,

будет инвариантом.

Если принять за переменные (см. п. 12)

функция F будет однородной степени относительно

Отсюда следует, что

— инвариант.

Знак 2 означает, что к каждому члену указанного вида следует присоединить член, получающийся из него приписыванием буквам штрихов. Так

Если, наконец, мы примем переменные из пунктов 131 и 137

то мы увидим таким же образом, что

будет инвариантом четвертого типа.