Случай ограниченной задачи

287. Можно представить другой способ рассмотрения, который мы приложим только к случаю ограниченной задачи. В п. 265 допускалась возможность существования двух квадратичных инвариантов, один из которых известен. Предположим, что эти два квадратичных инварианта существуют, и пусть П — квадратичная форма, соответствующая одному из этих инвариантов. Согласно предыдущему, может содержать члены с

С другой стороны, П — квадратичная форма относительно количеств

коэффициенты которой — алгебраические функции от

Вот какими будут переменные и у., которые мы выберем. В этой задаче, которую я называю ограниченной, два тела описывают концентрические окружности, а третье, масса которого нуль, движется в плоскости этих окружностей. Я отнесу это третье тело к подвижным осям, вращающимся равномерно вокруг центра тяжести двух первых; одна из этих осей постоянно будет совпадать с прямой, соединяющей два первых тела. Я обозначу через координаты третьего тела относительно этих подвижных осей, а проекции абсолютной скорости на подвижные оси. Тогда положим

где означают функцию живых сил и функцию площадей в абсолютном движении и где означает угловую скорость вращения двух первых тел вокруг их общего центра тяжести. Уравнения примут каноническую форму

Интеграл есть не что ипое, как «интеграл Якоби» (ср. том , стр. 27).

При этих предположениях выражение П будет квадратичной формой относительно

коэффициенты которой будут алгебраическими относительно Если мы предположим, что четыре переменных и у. связаны соотношением

которое влечет за собой

то четыре переменных не будут более независимыми; мы сможем исключить одну из них, и П станет тройничной квадратичной формой.

Рассмотрим одну точку периодического решения; для этой точки мы будем иметь

Следовательно, все выражения (1) обратятся в нуль, за исключением

Если мы предположим, что то они все обратятся в нуль за исключением

Итак, пусть для точки периодического решения

Совокупность членов с сведется, следовательно, для этой же точки к

(ср. выше таблицу и, поскольку к

Члены с должны исчезнуть; это — единственный, который не обращается в нуль для рассматриваемой точки; все остальные — нули, даже если бы мы не подчинили их условию не дают членов с

Но не есть тождественный нуль. Мы имеем для точки периодического решения

но мы не могли бы иметь это значило бы, что имеется непрерывное бесконечное множество периодических решепий одного и того же периода, что не имеет места.

Можно заметить, однако, что содержит множителем малое количество, которое я обозначу через т. е. массу второго тела, и, следовательно, что обращается в нуль при т. е. вкеплеровском движении.

Следовательно, члены с могут исчезнуть, только если мы имеем

откуда

Но это последнее равенство означало бы, что П сводится к бинарной квадратичной форме и, следовательно, что ее дискриминант нуль. Таким образом, дискриминант А формы П должен был бы обращаться в нуль для всех точек всех периодических решений.

288. Однако алгебраическое соотношение

не может быть справедливым, по крайней мере, если оно не обращается в тождество для всех точек всех периодических решений.

Действительно, если мы присоединим к соотношению

дна других соотношения

(где две произвольные постоянные, две функции, обозначенные так в предыдущем параграфе) и любое четвертое алгебраическое соотношение

то число решений этих четырех алгебраических уравнений будет ограниченным, какими бы ни были постоянные

Рассмотрим теперь периодическое решение; переменные будут разложены по степеням в виде

Функция F также будет разложима по степеням и мы будем иметь

будут независимы от

Остается я говорю, что эта функция, которая по предположению алгебраична по зависит также алгебраически от Действительно, вьтражая то, что

— интегральный инвариант, мы придем к определенным соотношениям, в которые войдут коэффициенты П, их производные и коэффициенты дифференциальных уравнений движения.

Мы предположим, что II — алгебраическая функция от мы можем предположить, что эта алгебраическая функция относится как частный случай к определенному типу, не содержащему явно но зависящему алгебраически от некоторого числа произвольных параметров.

Тогда не будет интегральным инвариантом при произвольных значениях параметров, а только тогда, когда эти параметры будут принимать некоторые частные значения, зависящие от

Выражая то, что -интегральный инвариант, мы придем к некоторым алгебраическим уравнениям между и этими параметрами; эти уравнения должны быть совместными, и ясно, что из них мы получим параметры в виде алгебраических функций от

Коэффициенты формы будут, следовательно, также алгебраичны по

Таким образом, уравнение янляется алгебраическим относительно и мы можем предположить, что оно преобразовано так, что левая часть — целый полином относительно

Итак, будем писать

Кроме того, не будет тождественным нулем, если только таковым не будет А. Если бы действительно, обращалось в нуль, то А содержало множитель который можно было устранить.

Функция А должна обратиться в нуль, когда в ней заменены разложениями (5). В таком случае она становится разложимой по степеням и так как член, не зависящий от должен обратиться в нуль, то мы имеем

Заметим теперь, что мы должны иметь

где — постоянные. Для того чтобы в этом удостовериться, достаточно вспомнить, что при движение сводится к кеплерову.

Примем теперь, например,

и напишем уравнение

Заметим далее, что если предположить то третье тело будет описывать кеплеров эллипс; пусть координаты этого тела, отнесенные не к подвижным осям, а к осям симметрии этого эллипса.

Тогда уравнения кеплерова эллипса запишутся в виде

Коэффициенты будут зависеть от двух постоянных, которыми являются большая полуось и эксцентриситет эллипса, и, следовательно, от и При этом мы будем иметь

где среднее движение зависит от , а — новая постоянная интегрирования.

Пересечение эллипса (6) с окружностью

будет иметь место в двух точках, которые будут даны уравнениями

Далее мы будем иметь

где - новая постоянная интегрирования.

Мы получим решения уравнения комбинируя уравнения (7) и (8), что дает

(к - любое целое число).

Для того чтобы решение было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы отношение было рациональным. Представим это отношение в виде дроби, приведенной к наиболее простому выражению, и пусть ее знаменатель. Мы видим, что уравнение будет допускать различных решений.

Уравнения должны были бы допускать лишь ограниченное число решений, каковы бы ни были постоянные Но я могу выбрать таким образом, чтобы имело какое угодно значение, и, следовательно, чтобы D было сколь угодно большим.

Это может случиться, только если и, следовательно, А тождественно равно нулю.

Следовательно, дискриминант формы П — тождественный нуль, и эта форма должна свестись к бинарной форме.

Таким же способом мы доказали бы, что не может случиться, чтобы все периодические решения были особыми в смысле п. 257.

Таким образом, доказательство дано только в очень частном случае, но можно предвидеть возможность его распространения на общий случай.

289. Форма П, рассматриваемая как бинарная форма, должна свестись к

для точки периодического решения; следовательно, эта бинарная форма будет определенной (т. е. равной сумме двух квадратов), если периодическое решение устойчиво, т. е. если характеристические показатели мнимы; она будет неопределенной (т. е. равной разности двух квадратов), если периодическое решение неустойчиво, т. е. если характеристические показатели вещественны.

Предположим опять, что очень мало, и снова возьмем уравнение

Согласно принципам главы III (п. 42), для заданного значения [30 мы будем иметь, по крайней мере, два периодических решения, из которых одно — устойчиво и одно — неустойчиво. Пусть

— соответствующие значения постоянных и

Пусть

; тогда уравнение даст для первого периодического решения

и для второго

Мы сможем без ограничения общности предположить, что и при этом заключены между Тогда форма П будет

что показывает, что дискриминант формы П, рассматриваемой как бинарная форма, должен обращаться в нуль, по крайней мере, раз, откуда, как и выше, можно заключить, что он — тождественный нуль.

Таким образом, форма П сводится к квадрату; следовательно, так как она должна быть равной

для всех точек периодического решения, она должна обращаться в нуль во всех этих точках.

То же рассуждение показало бы снова, что она — тождественный нуль. В итоге, по крайней мере для частного случая ограниченной задачи, не существует квадратичного инварианта, отличного от известного.