Вероятности

296. В п. 291 мы видели, что существуют молекулы, пересекающие бесконечно много раз. С другой стороны, вообще, среди них имеются другие, которые пересекают лишь конечное число раз. Я ставлю себе целью показать, что эти последние должны рассматриваться как исключительные

или, точнее, что вероятность того, что молекула пересечет лишь конечное число раз, бесконечно мала [10], если допустить, что эта молекула находится внутри в начальный момент. Однако сначала я должен объяснить смысл, который придаю слову вероятность. Пусть какая-нибудь положительная функция трех координат х, у, z; я условлюсь говорить, что вероятность того, что в момент молекула находится внутри некоторого объема, пропорциональна интегралу

распространенному на этот объем. Следовательно, она равна интегралу деленному на значение этого же интеграла, распространенного на весь сосуд V.

Мы можем произвольным образом выбрать функцию и вероятность окажется, таким образом, определенной полностью; так как траектории молекулы зависит только от ее начального положения, то вероятность того, что молекула будет вести себя тем или иным образом, является полностью определенной величиной, как только выбрана функция

При этих условиях я приму сначала просто и буду искать вероятность того, что молекула не пересечет более к раз области между моментом и нулевым моментом.

Итак, пусть — область, составляющая часть и определенная следующим свойством. Всякая молекула, которая в начальный момент находится внутри пересечет не более к раз между моментами и 0.

Если мы допустим, что наша молекула находится внутри в нулевой момент, то искомая вероятность будет

Пусть

— первые последующих области Среди областей

не может существовать более к областей, имеющих общую часть, ибо в противном случае всякая молекула, которая в нулевой момент находилась бы в этой общей области, пересекла бы и, следовательно, более чем к раз между моментами и 0.

Таким образом, мы имеем

и, следовательно,

Каким бы малым ни был объем и сколь велико бы ни было к, всегда можно взять достаточно большим, чтобы правая часть этого неравенства была сколь угодно малой. Таким образом, когда стремится к бесконечности, стремится к нулю.

Итак, вероятность того, что молекула, находящаяся в начальный момент в области пересечет эту область не более к раз между моментами

— со и 0, эта вероятность, говорю я, бесконечно мала.

Также бесконечно мала вероятность того, что эта молекула пересечет эту область не более к раз между моментами

Положим теперь Вероятность того, что молекула пересечет не более к раз между моментами и 0, будет меньше

Она стремится к нулю, когда к неограниченно возрастает.

Вероятность Р того, что молекула не пересекает бесконечное число раз между моментами и 0, таким образом, бесконечно мала.

В самом деле, эта вероятность Р является суммой вероятностей того, что молекула пересечет только один раз, что она пересечет два и только два раза, что она пересечет три и только три раза и т. д.

Но вероятность того, что молекула пересечет к и только к раз между моментами и 0, очевидно, меньше, чем вероятность того, что она пересечет к раз или менее к раз между моментами и 0, меньше, следовательно, чем

Таким образом, общая вероятность Р будет

Ряд в правой части сходится равномерно. Каждый из членов стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Таким образом, сумма этого ряда стремится к нулю. Следовательно, вероятность Р бесконечно мала.

Также бесконечно мала вероятность того, что молекула не пересечет бесконечное число раз между моментами

Те же результаты имеют место, когда вместо того, чтобы принять , выбирают функцию любым другим образом.

Тогда равенство (1) должно быть заменено следующим:

где означают интеграл распространенный соответственно на области

Я предполагаю, что функция непрерывна; следовательно, она не становится бесконечной, и я могу назначить ей верхний предел тогда будем иметь

и поскольку

то отсюда выведем

Каким бы малым ни было значение и сколь велико бы ни было к, всегда можно взять достаточно большим, чтобы правая часть этого неравенства была сколь угодно малой. Итак, мы снова приходим к тем же результатам, которые, таким образом, не зависят от выбора функции

В итоге молекулы, пересекающие только конечное число раз, исключительны в той же мере, что и рациональные числа, представляющие исключение в ряду чисел, тогда как иррациональные числа являются правилом.

Таким образом, если Пуассон полагал возможным ответить утвердительно на тот вопрос об устойчивости, который он поставил, хотя он не исключил случай, когда средние движения соизмеримы, мы также имеем право считать устойчивость доказанной, в смысле нашего определения, хотя вынуждены исключить особые молекулы, о которых только что говорили.

Я добавлю, что существование асимптотических решений в достаточной мере доказывает, что эти исключительные молекулы существуют в действительности.