Приложение к уравнениям п. 13

368. Возвратимся к каноническим уравнениям динамики

Как и в пунктах 13, 42, 125 и т. д., я предполагаю, что периодическая функция у, разложимая по степеням параметра в виде

что зависит только от х.

Тогда мы видели в , что эти уравнения допускают бесконечное число периодических решений первого рода

где функции разложимы по возрастающим степеням

Рассмотрим одно из этих решений (2).

Пусть Т — период, а — один из характеристических показателей; их будет два, отличных от нуля, равных и противоположных по знаку, если мы предположим две степени свободы.

Мы видели в главе IV, что показатель а зависит от и разложим по степеням Когда изменяется непрерывным образом, то же происходит и с а; предположим, что при произведение соизмеримо с и равно

Отсюда мы можем заключить, что при близком к существуют решения второго рода, порожденные решениями (2), период которых равен , где к означает знаменатель

Если мы оставим в стороне случаи, когда к равно 2, 3 или 4, то, как мы видели, два из этих решений существуют, когда X (здесь имеет определенный знак, и их нет, когда X (здесь имеет противоположный знак.

Я сказал, что оставил в стороне случаи, когда ; я могу это сделать беспрепятственно. В самом деле,

разложимо по степеням и обращается в нуль с Следовательно, для малых значений величина очень мала, и ее знаменатель наверняка больше 4.

Таким образом, мы встречаемся с двумя предположениями.

Либо решения второго рода существуют только при либо они существуют только при

Какое же из этих двух предположений осуществляется?

Все зависит от знака некоторого количества которое само зависит от коэффициентов при в выражениях

Чтобы определить этот знак, нам нет нужды явно образовывать эту величину, а достаточны следующие рассуждения.

369. Возьмем сначала простой случай п. 199; пусть

с каноническими уравнениями

что

Функция Якоби записывается в виде

с двумя постоянными и отсюда мы находим

где две новые постоянные интегрирования.

Мы видим, что появился эллиптический интеграл

этот интеграл обладает вещественным периодом, который равен интегралу, взятому между если и удвоенному интегралу, взятому между

если

Обозначим этот вещественный период через

Каждому значению соизмеримому с соответствует периодическое решение; однако нужно различать два случая.

Если то в течение периода увеличиваются на кратное Соответствующие периодические решения являются решениями первого рода.

Если то в течение периода возрастает на кратное а у сохраняет свое первоначальное значение. Соответствующие решения являются решениями второго рода.

К этому перечислению следует добавить два замечательных периодических решения, которые должны рассматриваться как решения первого рода. Пусть , эти решения будут

Я сказал, что эти последние решения следует рассматривать как решения первого рода и что решения, соответствующие должны рассматриваться как решения второго рода.

В самом деле, дадим С значение, очень мало превосходящее пусть

где очень мало; не сможет сильно отклониться от мы будем иметь приближенно

и период со будет близок к

откуда вытекает такое заключение: пусть а — любое число, соизмеримое с существует ряд таких периодических решений, что и что если очень близок к то С будет очень близко к и при

эти периодические решения сольются со вторым решением (4), которое является решением первого рода. Здесь мы узнаем вновь характеристическое свойство решений второго рода.

Мы видим, что второе решение (4), т. е. то из двух решений (4), которое устойчиво, порождает решения второго рода тем способом, который был объяснен в главе XXVIII.

Если другие решения первого рода, такие, что не порояедают решений второго рода, то это зависит от очень частного вида уравнений (1). (Для этих решений характеристические показатели всегда равны нулю.)

Рассмотрим сначала такие решения первого рода, что

Положим период т. е. интеграл (3), взятый между будет разложим по степеням а свободный член сведется к

Дадим любое рациональное значение; мы будем получать периодическое решение всякий раз, когда будем иметь

Уравнение удовлетворяется при , и из этого уравнения можно будет найти и, следовательно, С в виде ряда, расположенного по степеням Уравнения (2) дадут нам тогда разложимые по степеням Это — разложения главы

Перейдем к таким решениям второго рода, что

Положим мы получим

Мы видим, что является функцией только от с другой стороны,

что показывает нам, что и являются функциями от двоякопериодическими относительно Значит, это также функции от поскольку функция от со если, следовательно, мы дадим «в постоянное значение, соизмеримое с то получим ряд периодических решений; для этих решений

могут быть разложены в ряды Фурье по синусам и косинусам кратных где Т — наименьшее общее кратное Любой коэффициент разложения является функцией эту функцию я и хочу изучить.

Для этого необходимо сначала рассмотреть соотношение между и

Мы можем заставить изменяться от —1 до При мы имеем

При мы имеем со; следовательно, когда изменяется от —1 до возрастает от до

Следовательно, периодическое решение, соответствующее заданному значению , соизмеримому с существует, только если

Таким образом, коэффициенты разложения Фурье являются функциями от которые вещественны при

и комплексны при

Очевидно, что это же рассуждение привело бы к тому же результату, если бы вместо

мы имели

где зависит только от только от Здесь решения второго рода опять были бы вещественными при

370. В общем случае величина о которой шла речь в конце и знак которой мы хотим определить, очевидно, зависит от и если достаточно мало, то первый член разложения и даст ее знак.

Определим функцию по методу Болина; пусть

Если достаточно мало, то, очевидно, наиболее важными будут два первых члена

Но если положить

то, как мы видели в главе и не зависят ни от ни от а только от и от где через обозначено среднее значение

Возьмем снова величину п. 368; первый член ее разложения будет зависеть только от и, следовательно, от и Таким образом, будет иметь место то же самое, как если бы мы предположили, что

следовательно, то же, что и в предыдущем пункте.

Но в предыдущем пункте мы нашли, что решения второго рода существуют только при

Это заключение сохраняется, таким образом, опять в общем случае, лишь бы было достаточно малым.

Каково же значение для которого этот вывод потеряет силу?

Примем снова обозначения п. 361, которые являются обозначениями п. 275; показатель а, который там фигурирует, разложим по степеням произведения

Он приводится к характеристическому показателю при

Так как мы предположили, что решение первого рода устойчиво, мнимое, то комплексные сопряженные, и произведение положительно.

При малых значениях показатель а убывает, когда А А возрастает; в противном случае решения второго рода существовали бы только при

Таким образом, искомое значение является тем, для которого а перестает убывать, когда А А возрастает; следовательно, это то значение, которое обращает в нуль производную от по .