Преобразование инвариантов

245. Так как инварианты приводятся таким образом к интегралам уравнения в вариациях, то легко найти очень большое число способов, которые позволяют преобразовывать эти инварианты.

Если известно некоторое число интегральных инвариантов уравнений

то из каждого из них выведем интеграл уравнений в вариациях

Комбинируя между собой эти различные интегралы, получим новый интеграл уравнений (2), откуда выведем новый инвариант уравнений (1).

Начнем с изучения случая инвариантов первого порядка.

Пусть

— некоторое число интегралов уравнений (1), причем эти интегралы будут функциями только от

Пусть теперь

- q интегральных инвариантов первого порядка тех же уравнений (1). Функции под знаком интеграла

зависят от и их дифференциалов Они могут зависеть от любым образом; однако относительно дифференциалов

они должны быть однородными первой степени.

Тогда

будут интегралами уравнений (2) и будут однородными первой степени относительно Пусть теперь

— функция от , зависящая от Ф любым образом, но однородная первой степени относительно F.

Тогда функция

будет новым интегралом уравнений (2); кроме того, она будет однородной функцией первой степени относительно Отсюда следует, что

— интегральный инвариант первого порядка уравнений (1).

Можно было бы прийти столь же легко к тому же результату, преобразуя инварианты заменой переменных п. 237.

Например,

и

будут интегральными инвариантами.

246. Эти же вычисления можно применить к инвариантам более высокого порядка.

Пусть снова

интегралов уравнений (1) и

- q иитегралышх инвариантов второго порядка. F будут функциями и произведений дифференциалов

Они будут однородными первой степени относительно этих произведений.

Тогда

будут интегралами системы (6) п. 243.

Если теперь

есть какая-либо функция от , однородная первой степени относительно F, то выражение

будет интегралом тех же уравнений (6); кроме того, оно будет однородным первой степени относительно определителей

Отсюда следует, что двойной интеграл

будет интегральным инвариантом второго порядка уравнений (1).

247. Таким образом, мы имеем средство, зная песколько инвариантов одного и того же порядка, комбинировать их так, чтобы получить другие инварианты того же порядка.

Тот же способ позволяет, если известно несколько инвариантов одного и того же порядка, получить новые инварианты другого порядка.

Пусть, например,

— два интегральных инварианта нервого порядка; я предполагаю, и это есть наиболее общий случай, что линейные и однородные функции от дифференциалов

Выражения

будут однородными функциями первого порядка относительно и они будут интегралами уравнений (2).

Аналогично

будут интегралами уравнений (6).

Отсюда вытекает, что

будет интегралом системы (6).

Так как и линейны относительно то будем иметь

Отсюда следует, что выражение (10), которое, кроме того, меняет анак при перестановке и не изменяется при замене на .

Отсюда мы делаем вывод, что это выражение (10) — линейная и однородная функция от определителей

причем коэффициенты зависят только от х, но не от

Следовательно, из выражения (10) можно вывести интегральный инвариант второго порядка уравнений (1).

Пусть теперь

— два интегральных инварианта уравнений (1), один — первого порядка, а другой — второго. Я предположу, что линейные и однородные функции: первая — относительно дифференциалов вторая — относительно произведений

Функции

будутинтегралами системы (6).

Выражение

будет интегралом системы (7).

С другой стороны, легко проверить, что оно будет линейным и однородным относительно определителей

Поэтому из него можно вывести интегральный инвариант третьего порядка.

Пусть теперь

— два инварианта второго порядка уравнений (1).

Мы выведем из них два интеграла уравнений (6), а именно:

что я смогу записать для краткости

Тогда выражение

будет интегралом системы, полученной присоединением к уравнениям (7) уравнений

Сверх того, это будет линейная и однородная функция относительно определителей, составленных из четырех величин и соответствующих величин

Я продолжаю предполагать, разумеется, что однородны и линейны относительно произведений

Следовательно, из выражения (12) можно вывести интегральный инвариант четвертого порядка.

Следует отметить, что этот инвариант не становится тождественным нулем, если предположить, что

Тогда выражение (12), деленное на два, сводится к

Поэтому из инварианта второго порядка всегда можно вывести инвариант четвертого порядка; тем же способом из него получим инвариант шестого порядка; и вообще, получим из него инвариант порядка любое четное число).

248. Пусть вообще

— два любых инварианта уравнений (1), первый — порядка второй — порядка

Я предполагаю, что линейные и однородные функции, первая — относительно произведений дифференциалов вторая — относительно произведений дифференциалов.

Пусть

суть решений уравнений (2). Эти решения будут удовлетворять системе дифференциальных уравнений

Тогда пусть означает результат замены в каждого произведения дифференциалов соответствующим определителем, образованным при помощи решений

Пусть также означает результат замены в каждого произведения дифференциалов соответствующим определителем, образованным при помощи решений

Тогда произведение

будет интегралом системы (13).

При этих предположениях подвергнем букв

какой-либо перестановке. Произведение перейдет в

и это снова будет интегралом системы (13).

Мы приписываем этому произведению знак если перестановка принадлежит четной группе, т. е. если она приводится к четному числу перестановок между двумя буквами. Наоборот, мы приписываем произведению знак если перестановка не принадлежит к четной группе, т. е. если она приводится к нечетному числу перестановок между двумя буквами.

Во всех случаях выражение

будет интегралом системы (13).

Мы имеем возможных перестановок, следовательно, получим выражений, аналогичных (14). Однако среди них будем иметь только

различных, ибо выражение (14) не меняется, если переставлять между собой только букв, входящих в и с другой стороны, только букв между собой, которые входят в

Составим теперь сумму всех выражений (14). Опять получим интеграл системы (13). Но этот интеграл будет линейным и однородным относительно определителей порядка которые можно составить из букв

Следовательно, из него можно вывести инвариант порядка уравнений (1).

Если тождественно с то инвариант, полученный таким образом, будет тождественным нулем, если нечетное; но он не будет таковым, если четное, как я объяснил это в конце предыдущего параграфа.