Связь с одной теоремой Якоби
269. Известно, что Якоби в начале своих «Vorlesungen liber Dynamik» доказал, что в случае ньютонова притяжения среднее значение кинетической энергии равно с точностью до постоянного множителя среднему значению потенциальной энергии при допущении, разумеется, что координаты могут быть выражены тригонометрическими рядами того же вида, что и ряды, которые мы здесь изучаем.
Эта теорема Якоби непосредственно примыкает к предыдущему. Уравнения движения могут быть записаны следующим образом:
откуда
Тогда — V представляет собой потенциальную энергию, С — полную энергию, а
— кинетическую энергию.
С другой стороны, так как функция V однородна степени —1, мы будем иметь
Уравнение живых сил можно, следовательно, записать в виде
С другой стороны, возьмем снова уравнения (9) п. 267 и просуммируем их после умножения соответственно на 
получим
Замечая, что
поскольку 
заключаем, что
Сравнивая с уравнением живых сил, находим
это показывает, что С должна быть однородной степени 2/3 относительно 
что можно было бы увидеть, впрочем, непосредственно. Теперь, среднее значение функции 
которое я обозначу 
будет нулем, если 
производная периодической функции; следовательно, имеем
и, сопоставляя с уравнением живых сил, выводим
откуда
Это — теорема Якоби.
Рассматривая частные производные 
вместо полных производных 
мы пришли бы к аналогичным результатам. Мы нашли бы
