ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель этой книги — изложить основные классические результаты алгебраической и аналитической теории чисел. Из-за отсутствия в литературе требуемого материала мне пришлось включить элементы алгебраической теории в одну из глав книги [7], однако в весьма отрывочном виде. Поэтому я счел полезным дать здесь более полное изложение, способное, кроме всего прочего, служить введением к записям семинара Артина — Тейта по теории полей классов [3].

С другой стороны, помимо классической теории целого замыкания, дискретно нормированных колец, дифференты и дискриминанта, я дополнил теоремы о единицах и о числе классов известной оценкой Минковского для дискриминанта, а к принадлежащей Артину и Уэйплсу оценке числа элементов в параллелотопах добавил более точную асимптотическую формулу. Оба эти результата имеют количественный характер (в отличие от качественной точки зрения, которой я придерживался в книге [7]).

Четыре главы, посвященные аналитической теории чисел, воспроизводят без существенных изменений следующие четыре опубликованные и неопубликованные работы, посвященные дзета-функции и L-функциям числовых полей.

Диссертация Тейта, все еще неопубликованная (изложена в гл. VII).

Теоремы о плотности простых идеалов в обобщенных арифметических прогрессиях в варианте, возникшем на

одном из семинаров Артина около двенадцати лет назад.

Статья Брауэра [5], в которой доказана высказанная в качестве предположения Зигелем асимптотическая формула

Принадлежащий Вейлю вариант явной формулы в теории простых идеалов [10].

В определенном отношении план этой книги более или менее совпадает с планом работы Гильберта [6], хотя, разумеется, и алгебраический, и аналитический аспекты теории чисел изложены в их нынешнем виде (а теория полей классов опущена). Книга Гильберта содержит много примеров и вычислений, что и сейчас делает ее чтение весьма приятным. Все изложения теории алгебраических чисел испытали на себе ее влияние и влияние курса Артина [1] (атакже неопубликованных записей семинаров Артина). Мы принимаем глобальную точку зрения и лишь по ходу дела занимаемся локальными полями, которые более полно изучены в книге Серра [8]. В пользу прямого глобального подхода к изучению числовых полей можно сказать многое; я даже включил основную лемму, использованную Артином в его первоначальном доказательстве закона взаимности. Я надеюсь, что благодаря этому читатель сможет приобрести некоторую интуицию иного характера, чем при других вариантах изложения.

С. Ленг

Нью-Йорк 1963