§ 4. Лемма Артина

Это лемма о существовании некоторых специальных круговых полей. Нам понадобятся вспомогательные результаты, относящиеся к элементарной теории чисел; нижеследующие леммы 1—3 принадлежат Ван дер Вардену.

Лемма 1. Пусть целые числа, простое число,

Если простое число делит одновременно и число Если делит делит Наконец, если или то

Доказательство. Имеем

Из этого тождества следуют все наши утверждения при если то

что также дает требуемое.

Лемма 2. Пусть имеют те же значения, что в лемме 1. Существует простое число такое, что пооядок равен

Доказательство. Действительно, Поэтому существует простое число делящее но не делящее Оно и является искомым.

Лемма 3. Пусть -положительное целое число, — целое число. Можно найти такое целое число

где различные простые числа, что порядок делится на кроме того, существует положительное число порядок которого делится на причем независимы в группе вычетов Можно найти сколь угодно большие простые числа удовлетворяющие этим условиям.

Доказательство. Пусть большое целое число. Выберем такое целое число что

По предыдущей лемме, существует такое простое число что порядок вычета равен

По той же лемме можно найти такое простое число что порядок вычета равен

Заменим число числом и продолжим эту процедуру, применяя ее к

Мультипликативная группа классов вычетов взаимно простых с является прямым произведением групп классов вычетов Пусть образующая группы классов вычетов то же для Не теряя общности, можно считать, что число а равно

Положим тогда

Без труда проверяется, что удовлетворяет требуемым условиям.

Лемма 4. Пусть К — абелево расширение числового поля -конечное множество простых чисел. Пусть — простой идеал кольца I, неразветвленный в поле К. Существует целое число взаимно простое с и с числами из множества которое удовлетворяет следующим условиям.

(1) Порядок символа Артина делится на

(3) Существует автоморфизм х поля над не зависящий от порядок которого делится на

Доказательство. Воспользуемся леммой 3 при Можно взять которое делится лишь на достаточно большие простые числа; тогда и условие (2) будет выполнено. Положим Тогда

и условие (1) тоже выполнено. Наконец, выберем как в лемме 3, и определим формулой

Это дает условие (3).

Лемма Артина. Пусть числовое поле, К — его конечное циклическое расширение, конечное множество

простых чисел. Пусть простой идеал кольца Тогда существует целое число взаимно простое со всеми числами множества и такое конечное расширение поля что

Доказательство. Схема включений интересующих нас полей:

Выберем как в предыдущей лемме, и положим Группа Галуа поля над является прямым произведением группы поля К над и группы поля над Пусть образующая группы элемент, существование которого утверждается в предыдущей лемме, — подгруппа группы Галуа поля над порожденная элементами

Группа содержит элемент значит, по определению, содержит группу разложения идеала в поле Если совпадает с полем -инвариантных элементов, то идеал вполне распадается в поле

С другой стороны, очевидно, состоит из единичного элемента. Но подгруппа автоморфизмов поля оставляющая инвариантной в точности поле Поэтому поле ( должно совпадать с Это доказывает лемму Артина.

Она используется следующим образом. Пусть мы умеем описывать символ Артина в круговых полях. Тогда лемма дает средство сводить изучение символа Артина в циклических расширениях к его изучению в круговых полях. Действительно, с помощью предложения 1 предыдущего параграфа мы можем спуститься от расширения к расширению