Глава I. ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

В этой главе описаны основные свойства кольца целых алгебраических чисел в произвольном числовом поле (всегда предполагается, что это поле имеет конечную степень над полем рациональных чисел Сюда входят также общие сведения о структуре простых идеалов.

Доказательства проводятся в более общей ситуации только в том случае, когда их нельзя сократить, пользуясь специальными свойствами интересующих нас объектов. Писать курс коммутативной алгебры не входило в наши намерения.

§ 1. Локализация

Пусть А—некоторое кольцо. Мультипликативным подмножеством в нем называется любое подмножество, содержащее 1 и вместе с любыми двумя элементами х, у их произведение Кроме того, мы постоянно будем считать, что 0 не принадлежит подмножеству.

Пусть К — поле частных кольца мультипликативное подмножество кольца А. Символом мы будем обозначать множество частных вида где Оно образует кольцо, в которое А канонически вкладывается.

Пусть есть -модуль, содержащийся в некотором поле (которое содержит поле ). Тогда символом обозначается множество элементов вида где и Это множество, очевидно, является -модулем. Иногда мы будем рассматривать случай, когда кольцо, содержащее А в качестве подкольца.

Пусть простой идеал кольца А (по определению, ). Дополнение в кольце А является тогда

мультипликативным подмножеством этого кольца, и мы будем писать в этом случае вместо

Локальным кольцом называется кольцо С единственным максимальным идеалом. Пусть — такое кольцо, а — его максимальный идеал. Тогда любой элемент не лежащий в является единицей (т. е. обратим), потому что иначе главный идеал содержался бы в некотором максимальном идеале, не совпадающем с Тем самым совпадает с множеством необратимых элементов кольца .

Введенное выше кольцо локально. Непосредственно проверяется, что его максимальный идеал состоит из частных вида где и

Заметим, что Действительно, включение очевидно. Обратно, если то Следовательно,

Пусть — некоторое кольцо, — его мультипликативное подмножество. Пусть а — идеал в кольце Тогда

Действительно, включение очевидно. Обратно, пусть .

Пусть где Тогда откуда

Применение операции дает гомоморфное отображение мультипликативной системы идеалов кольца А на мультипликативную систему идеалов кольца Это другая формулировка только что доказанных свойств. Если для некоторого идеала идеал единичен, то, очевидно, множество непусто. Мы будем говорить в этом случае, что пересекается с