§ 3. Вычисление одного объема

Начнем с некоторых замечаний о выпуклых телах в пространстве Пусть означает обычную меру в

Подмножество называется выпуклым, если для любых двух точек все точки вида тоже принадлежат С (иными словами, отрезок, соединяющий х и у, принадлежит С).

Множество С называется симметричным (относительно начала координат), если из того, что следует, что

Теорема 3. Пусть решетка размерности в пространстве и пусть С — замкнутое выпуклое симметричное подмножество этого пространства. Если

где фундаментальная область решетки то в С содержится ненулевая точка решетки.

Доказательство. Сначала докажем теорему в случае строгого неравенства

Тогда в множестве содержатся две различные точки, разность которых принадлежит Действительно,

Так как множества справа попарно не пересекаются имеем

Но Поэтому множества не могут попарно не пересекаться — это противоречило бы принятому неравенству для меры Таким образом, существуют такие векторы что

где

Тогда Но по симметрии из следует, что так что в силу выпуклости , что и требовалось доказать.

Предположим теперь, что Для всякого

так что в теле существуют ненулевые точки решетки. Полагая находим, что хотя бы одна из них должна оставаться в С.

Наша следующая задача состоит в вычислении одного объема.

Лемма 3. Пусть

где среди множителей имеется вещественных, комплексных, Для всякого числа обозначим буквой А выпуклое тело, заданное неравенством

Тогда его объем равен

Доказательство. Прежде всего очевидно, что

так как

Теперь заменим комплексные переменные полярными координатами.

Мы хотим вычислить объем Вместо используем полярные координаты и

Имеем

где интеграл берется по области

Значение интеграла не изменится, если ограничиться интегрированием по области, где все и умножить интеграл на

Сделаем замену переменных при Интеграл приобретает вид

где

а область интегрирования определяется неравенствами О при всех и

Но

Интегрирование по между 0 и 1 можно сделать внешним. Это дает

(тривиальное интегрирование и однородность). По индукции, избавляясь от первых переменных, находим

Аналогично

Снова интегрируя, по индукции получаем

Следовательно,

откуда и вытекает требуемое значение для