Глава Х. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Мы следуем изложению Вейля [10]. Отметим, что логическая структура доказательств чрезвычайно проста. Используются только следующие результаты арифметического происхождения.

Ограниченность величины в каждой полуплоскости

Функциональное уравнение для функции

Ограниченность функции в любой полосе с исключенными окрестностями полюсов. Это следует из обычных интегральных представлений.

Остальные рассуждения имеют аналитический характер. В частности, мы постоянно пользуемся формулой Стирлинга, описывающей асимптотическое поведение гамма-функции. Следует отметить, что нам приходится оценивать ряд преобразований Фурье и некоторые определенные интегралы.

Основной результат состоит в том, что сумма значений некоторой функции на степенях простых идеалов, по существу, совпадает с суммой значений ее преобразования Меллина в нулях дзета-функции. Точная формулировка содержится в § 3.

Одна часть доказательства основана на технике преобразований Фурье распределений. Я обязан Л. Шварцу за те соображения, которые используются в доказательстве предложения 4, § 5 (изложение Вейля в соответствующем месте настолько сжато, что его ход едва ли можно проследить).

Читателю, который захочет поупражняться, мы советуем обобщить теоремы из книги [12] на случай -рядов с произвольным характером Гекке.