§ 1. Локальная аддитивная двойственность

Пусть означает пополнение числового поля относительно нормирования Поле называется локальным. Оно является либо вещественным, либо комплексным, либо -адическим; тот же эпитет относится к Символом обозначается нормирование, индуцирующее обычную абсолютную величину на поле вещественных чисел, если архимедово, и -адическое нормирование если является -адическим. Пусть локальная степень. Мы полагаем

Если есть -адическое нормирование, число элементов поля классов вычетов то

где

Пусть сначала Введем некоторый нетривиальный характер аддитивной (локально компактной) группы Если вещественное нормирование, положим

Если -адическое нормирование, и -кольцо целых -адических чисел и поле всех -адических чисел соответственно, то существует каноническое вложение факторгрупп образ этого вложения — классы рациональных чисел, знаменатели которых являются степенями Вложим группу в группу (вещественных чисел и определим гомоморфизм как композицию всех этих отображений:

Для всякого конечного расширения поля символом обозначим оператор следа и рассмотрим отображение

Оно является непрерывным нетривиальным гомоморфизмом поля в группу вещественных чисел

Теорема 1. Пусть -локальное поле. Тогда билинейное отображение

определяет изоморфизм аддитивной группы поля с ее собственной группой характеров.

Доказательство. Легко проверить, что это спаривание непрерывно, а оба его ядра тривиальны. Этим определяется естественное отображение группы в группу оно непрерывно и мономорфно, а образ его всюду плотен. В действительности оно является изоморфизмом; в самом деле, если характер , определяемый формулой

близок к единице, он должен принимать близкие к 1 значения на большом компактном подмножестве поля Отсюда немедленно получается, что элемент х должен

быть близок к нулю. В свою очередь это означает, что образ в группе характеров группы полон и потому замкнут. Следовательно, отображение эпиморфно и, значит, является изоморфизмом.

Мы будем пользоваться той мерой Хаара на группе которая двойственна самой себе. Именно, положим:

- обычная мера Лебега на вещественной прямой, если вещественное поле;

- удвоенная обычная мера Лебега, если комплексная плоскость;

- мера, относительно которой кольцо о целых чисел поля имеет меру если -адическое. поле.

Здесь, как обычно, локальная дифферента, т. е. такой идеал, что является ортогональным дополнением к относительно спаривания, определенного в теореме 1.

Для любой меры Хаара на и любого ненулевого элемента поля имеем

или, символически,

Наше утверждение очевидно в архимедовом случае. Если -адическое нормирование, достаточно проверить его справедливость для простого элемента В этом случае индекс открытой подгруппы равен Отсюда следует требуемое.

Теорема 2. Определим образ Фурье функции формулой

Тогда при нашем выборе меры формула обращения имеет вид

Доказательство. Достаточно установить эту формулу для одной нетривиальной функции, ибо, как

известно из абстрактного анализа Фурье, формула обращения всегда имеет такой вид с точностью до постоянного множителя. Для вещественного поля можно рассмотреть для комплексного для -адического — характеристическую функцию кольца о. Детали вычисления мы оставляем читателю (ср. § 4).