§ 3. Основная сумма

Пусть комплекснозначная функция на вещественной прямой, для которой существует такая константа что функция

принадлежит пространству Тогда преобразование Меллина

представляет собой функцию, голоморфную в любой полосе где Для начала мы предположим, кроме того, что в каждой такой полосе имеет место равномерная оценка (позже мы усилим требования).

Пусть Количество нулей функции мнимая часть которых лежит между и ближайшим числом (см. предыдущий параграф), оценивается как ; то же относится к количеству нулей между и ближайшим числом Сумма по этим нулям стрег мится к нулю, когда

Рассмотрим интеграл от функции прямоугольнику, ограниченному прямыми В силу предложения 2 интеграл по горизонтальным сторонам стремится к нулю при это следует из условий, наложенных на Обозначая через аддитивную группу функций от стремящихся к нулю, когда в силу формулы вычетов получаем следующие сравнения

На последнем шаге мы пользуемся оценкой предложения 3, из которой следует, что интегралы по и стремятся к нулю при

Чтобы оценить получившиеся интегралы, мы воспользуемся представлением в виде произведения. Получатся три типа интегралов, соответствующих множителям Далее, мы примем, что функция удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

(A) F непрерывна вместе со своей производной всюду, кроме конечного числа точек а, где и производная имеют разрывы только первого рода, причем

(Б) Для некоторого числа О имеют место оценки вида

при

Из этих условий следует, что равномерно в полосе если 0 Поэтому приведенный выше подсчет применим, если

Интегралы по прямым мы сведем к интегралам по прямой Нашим окончательным результатом будет следующая

Явная формула. Пусть функция удовлетворяет условиям и (; пусть —преобразование Меллина функции Сумма распространенная на все нули функции удовлетворяющие условиям стремится к некоторому пределу при , и этот предел равен

где - функционал, который будет описан в § 5.

Если в качестве взять функцию

где некоторое фиксированное число, получится классическая формула гл. IV). Точную формулировку результата оставляем читателю. Отметим, что условия и в этом случае, очевидно, удовлетворяются, а в сумме по остаются только члены с положительными