§ 5. Вычисление суммы: вторая часть

Переходим к последнему члену. Для каждого мы должны вычислить интеграл от Отметим, что у функции нет полюсов в полуплоскости и что для нее имеет место оценка в любой полосе с вырезанными окрестностями полюсов. Следовательно, интеграл от до отличается от интеграла от до на Подобным же рассуждением, заменяя на мы можем превратить

интеграл по прямой в интеграл по прямой Получаем

Подставляя сюда формулы, определяющие находим, что интеграл (1) равен

Произведем замену переменных: полагая получаем

где

Положим

и

С помощью обычной замены переменной находим

причем функция удовлетворяет условиям и Определим функцию

Последний интеграл (2) можно тогда представить в виде

Функция при допускает оценку , поэтому она принадлежит пространству Из формулы Стирлинга следует, что

где Следовательно, мы не можем ни непосредственно применить формулу Планшереля, ни рассмотреть интеграл от до без специального доказательства сходимости. Поэтому наша задача состоит в оправдании обобщенной формулы Планшереля в интересующем нас случае.

В конце концов мы докажем существование предела

Для этого нам понадобятся некоторые результаты из функционального анализа.

Условимся на будущее, что

Мы будем впредь ссылаться на книгу Шварца [13].

Рассмотрим линейное пространство тех функций на вещественной прямой, которые ограничены, непрерывны и удовлетворяют некоторому условию Липшица равномерно на всяком компактном подмножестве. Это пространство мы назовем пространством ОНЛ-функций.

Линейное пространство, порожденное этими функциями и характеристическими функциями всевозможных интервалов, концы которых отличны от 0, назовем пространством почти ОНЛ-функций. Все такие функции непрерывны в нуле.

Определим функционал на пространстве почти ОНЛ-функций, полагая

Разумеется, мы должны оправдать это определение.

Лемма 3. На пространстве почти ОНЛ-функций описанный предел существует.

Доказательство. В окрестности нуля знаменатель

ведет себя, как Поэтому достаточно доказать наше утверждение, заменив этот знаменатель на на функцию, быстро стремящуюся к нулю

Начнем с рассмотрения характеристической функции интервала. Если точка 0 не лежит в этом интервале, то предел, очевидно, существует. В противном случае мы приходим к необходимости рассмотреть интеграл вида

Мы можем дифференцировать под знаком интеграла; считая для простоты, что имеем

Поэтому интеграл, сходящийся к некоторому пределу при Отсюда следует, что член уничтожает расходимость.

Пусть теперь ОНЛ-функция, быстро стремящаяся к нулю на бесконечности. Она представляется в виде суммы четной и нечетной функций; можно ограничиться рассмотрением четных функций, которые в нуле обращаются в нуль (достаточно вычесть характеристическую функцию интервала с центром в нуле). Тогда функция ограничена в некоторой окрестности начала, так что интеграл

стремится к некоторому пределу при Далее, член равен нулю, так что наше утверждение в этом случае справедливо.

Пусть теперь произвольная -функция. Имеем

откуда по линейности получаем

Сходимость последнего интеграла очевидна. Остюда следует

Лемма 4. Для любой ОНЛ-функции имеем

где С — фиксированная константа, константа Липшица для некоторого компактного интервала, содержащего нуль.

Пользуясь этой леммой, мы можем установить некоторое свойство непрерывности функционала

Лемма 5. Пусть последовательность ОНЛ-функций, сходящаяся к некоторой - функции Предположим, что функции равномерно ограничены и что на каждом компактном множестве сходимость равномерна, а константы Липшица функций равномерно ограничены. Тогда сходится к

Доказательство. Для каждого имеем

Последовательность сходится к Доказательство тем самым сводится к рассмотрению суммы интегралов

по отрезкам

где достаточно мало, а А велико. При больших А первый интеграл мал из-за экспоненты в знаменателе. При малых последний интеграл мал из-за существования равномерной оценки для констант Липшица. Средний интеграл тогда близок к соответствующему интегралу от функции Лемма доказана.

Для любой ОНЛ-функции и для любого числа у обозначим символом функцию Из вышесказанного следует, что как функция от у непрерывна.

Пусть некоторая последовательность регуляризующих функций, т. е. бесконечно дифференцируемых неотрицательных функций с компактным носителем, стягивающимся к нулю; интеграл от каждой функции равен 1. Легко проверяется, что последовательность сверток сходится к и условия леммы 5 выполнены.

Для любой функции символом обозначим функцию

Имеет место

Лемма 6. Пусть некоторое регуляризующее семейство. Тогда последовательность функций сходится к равномерно на всяком компактном множестве.

Отсюда вытекает

Лемма 7. Функционал является распределением. Пусть некоторая -функция. Свертка (распределение, представленное функцией представляется функцией, значение которой в точке х равно в символической записи

Эта функция непрерывна.

Доказательство. Пусть распределение, представленное вне некоторого компактного множества функцией, которая экспоненциально стремится к нулю на бесконечности, некоторая ограниченная -функция. Теория распределений устанавливает, что в этом случае распределение

представлено функцией Этот результат можно применить к функциям что доказывает нашу лемму (см. [13], теорема XI гл. VI, § 4, и формула

Теперь сформулируем аналог леммы 7 для почти ОНЛ-функций.

Лемма 8. Пусть характеристическая функция интервала, ни один из концов которого не является нулем. Тогда распределение представлено некоторой С-функцией в окрестности каждой точки, за исключением концов интервала. Значение этой функции в такой точке х равно

Доказательство. Это следует из общих свойств свертки распределений (см., например, [13], гл. VI, теорема III, § 3, и теорема XI, § 4).

Следствие. Пусть почти ОНЛ-функция, непрерывная в нуле. Тогда распределение представлено некоторой -функцией в окрестности любой точки непрерывности функции ее значение в нуле равно

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых специальных свойств гамма-функции.

Из ее вейерштрассова разложения следует формула

(см. любой учебник). Положим и рассмотрим вещественные части, учитывая, что

Отсюда получаем

где символом обозначена функция в квадратных скобках.

Лемма 9. Сходимость к предельной функции равномерна на каждом компактном множестве. Кроме того,

при всех где С — некоторая константа, не зависящая от

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго заметим, что общий член суммы в выражении для ограничен снизу величиной

Пусть При функция ограничена величиной При имеем

Это снова дает требуемое.

С этого места и до конца параграфа условимся нормализовать преобразование Фурье следующим образом. Для подходящего класса функций положим

Символом условимся обозначать аналогичный интеграл от произведения функций, стоящих в скобках, когда он имеет смысл. Тогда формулу Планшереля для некоторого класса функций можно записать в виде

а формулу обращения Фурье —

Преобразованием Фурье функции мы впредь называем функцию

Преобразование Фурье функции

легко вычислить, интегрируя по полуокружности (верхней при и нижней при Поэтому, полагая

находим

Преобразование Фурье постоянной функции 1 представляет собой распределение

где — функционал Отсюда следует Лемма 10. Имеем

в смысле теории распределений.

Доказательство. Из условия ограниченности леммы 9 следует, что предел преобразований Фурье равен преобразованию Фурье предела (воспользоваться [13], пример 3 из гл. VII, § 7).

Нашей целью является доказательство следующего утверждения.

Предложение 4. Пусть — функция, удовлетворяющая условиям (А) и (Б). Положим

Тогда число существует и равно

т. е. в силу леммы

Доказательство. Представление функции в виде суммы четной и нечетной функций

определяет подобное же представление преобразования Фурье. Поэтому достаточно проверить наше утверждение отдельно для четных и нечетных функций. Функция четна; поэтому для нечетных интеграл обращается в нуль. Предел справа тоже равен нулю, потому что каждый член равен нулю, так что наше утверждение в этом случае тривиально.

Будем считать теперь, что четная функция; в частности, она непрерывна в нуле.

Мы докажем предложение 4 для более широкого класса функций. Именно, пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

(1) F - четная почти ОНЛ-функция;

(2) F принадлежит пространству дифференцируема всюду, кроме точек разрыва, и ее производная тоже принадлежит

Всякая четная функция, удовлетворяющая условиям и удовлетворяет также условиям (1) и (2).

Лемма 11. Пусть, как обычно, распределение, представленное функцией Тогда

Доказательство. Это следует из теории распределений и условий (1) и (2), потому что быстро убывающая функция, умеренное распределение ([13], теорема XV гл. VII, § 8).

Согласно леммам 7 и 8, распределение представлено некоторой функцией, непрерывной всюду, кроме точек разрыва функции

Представим в виде суммы ОНЛ-функции и характеристических функций интервалов

Из условия (2) тогда следует, что имеет вид

где константы,

Так как произведение двух функций из принадлежит отсюда вытекает, что

где

Функции

при осциллируют при Отсюда следует, что интеграл

сходится, подобно тому как сходится знакопеременный ряд, члены которого по абсолютной величине монотонно стремятся к нулю.

Преобразование Фурье функции

можно вычислить, интегрируя отдельно и члены вида

при условии, что при любом (этим обеспечивается равномерная сходимость интеграла Фурье в некоторой окрестности точки Тем самым это преобразование Фурье представляет собой непрерывную функцию, определенную вне точек

Функция представляет распределение преобразование Фурье которого (как распределения) определяется леммой 11. Кроме того, имеет место

Лемма 12. Пусть Всюду, за исключением точек распределение представлено непрерывной функцией

Доказательство. Пусть компактный отрезок и пусть произведение функции на характеристическую функцию этого отрезка. Наше утверждение справедливо для вместо Тем самым стремится к как умеренное распределение, стремится к как умеренное распределение и, стало быть, как распределение в окрестности каждой точки Но интеграл, определяющий сходится к

равномерно (и значит, как распределение) на каждом компактном множестве, не содержащем точек Следовательно, распределение представлено этим интегралом в соответствующей области.

Распределения совпадают (лемма 11), и каждое из них представлено непрерывной функцией, заданной интегралом, всюду, кроме конечного числа точек. Тем самым соответствующие функции должны совпадать почти всюду и, значит, всюду. В частности, их значения в точке нуль равны. Пользуясь следствием из леммы 8, получаем доказательство предложения 4.

Рассуждения, проведенные выше для функции можно провести для функции с параметрами

С этой целью рассмотрим функционал

где определяется формулами

Подобно тому как мы вычислили преобразование Фурье функции можно вычислить преобразование Фурье функции Результат получается следующий.

Лемма 13. Преобразование Фурье функции равно

Собирая все слагаемые воедино, получаем

Предложение 5. Последняя сумма в явной формуле имеет вид

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)