§ 8. Глобальные вычисления

Цель этого параграфа — вывести некоторые явные формулы для глобальных дзета-функций, полезные в приложениях. В качестве весовой функции мы будем использовать некоторую функцию тесно связанную с функцией Обе они являются произведениями локальных функций; доказательство сходимости этого произведения при будет дано в следующей главе. Мы должны подчеркнуть, что, несмотря на его простоту (это—классический результат), оно представляет собой последний шаг в установлении того, что теорема 12 непуста и применима к классическим дзета-функциям и -функциям.

Предложение 10. Пусть тогда

Доказательство. Непосредственное следствие определений.

Этот результат имеет место и в локальном, и в глобальном случае, т. е. для групп Разумеется, в локальной группе означает либо элемент группы либо идель.

Введем некоторые обозначения. Для всякого характера х положим

Если совпадает с абсолютной величиной дискриминанта числового поля Подобные же обозначения используются в локальном случае (с добавлением индекса р).

Пусть - архимедово нормирование, Положим

где функция, определенная в § 4.

Пусть -адическое нормирование. Положим

Как обычно, подразумевается, что для неразветвленных характеров так что мера этого множества равна Далее,

В частности, если то для архимедовых имеем

а для -адических

где

Заметим, что функция получается из с помощью сдвига (для архимедовых о) и умножения на константу, цель которого — устранить некоторые лишние множители в выражениях для дзета-функций от

Начнем со следующего замечания.

Предложение 11. Пусть -тривиальный характер. Тогда функции неотрицательны, и

Доказательство. Непосредственно следует из определений.

Предложение 12. Пусть — идель, компоненты которого относительно архимедовых равны а для неархимедовых где Тогда и

Доказательство. Легко следует из предложения 10 и явного выражения через

Пусть характер группы простой идеал, неразветвленный относительно Тогда значение на иделе, имеющем в качестве -компоненты простой элемент , а в качестве остальных компонент —1, не зависит от выбора . Пусть - это значение, и пусть - множество

всех разветвленных относительно Положим

Далее, пусть

напомним, что

Теорема 14. Пусть характер нормализован так, что

Тогда

где — сумма чисел по всем комплексным Кроме того,

где эта выражения совпадают.

Доказательство. Следует собрать воедино локальные результаты из § 4, учесть предложение 10 и произвести необходимые сокращения.

Если заменить на то функция и дзета-функция будут отличаться от теперешних на множитель, равный 1 по абсолютной величине; то же относится к

Следствие 1. Имеет место функциональное уравнение вида

где константа, по абсолютной величине равная 1:

Доказательство. Из локальных результатов § 4 известно, что число по абсолютной величине равно учитывая это, нужно произвести сокращения в равенстве

Следствие 2. Пусть - фиксированный характер. Положим Тогда

где число и по абсолютной величине равно 1.

Доказательство. Тривиальный подсчет с использованием тождества

Следствие 3. Положим Тогда

и

Предложение 13. Пусть

— объем фундаментальной области группы Вычет функции в точке равен а вычет функции в этой точке равен

Доказательство. Значение вычета функции получается из теоремы 12, а дзета-функции — из следствия 3, в котором нужно положить и учесть, что

Теорема 15. Дзета-функцию можно представить в виде интеграла

Доказательство. Достаточно подставить в интегральное выражение теоремы 13, § 7, формулу предложения 10, учесть, что и воспользоваться инвариантностью мультипликативной меры относительно мультипликативного сдвига.

Мы используем эту формулу в доказательстве теоремы Брауэра-Зигеля, отметив, что при вещественных интегральный член неотрицателен, так как