Глава VIII. ПЛОТНОСТЬ ПРОСТЫХ ИДЕАЛОВ И ТАУБЕРОВА ТЕОРЕМА

В этой главе мы докажем тауберову теорему Икеара (см. также книгу Уиддера о преобразовании Лапласа) и теорему о плотности простых идеалов в обобщенных арифметических прогрессиях, соответствующих характерам Гекке. Тауберова теорема дает не только плотности простых идеалов в данных классах, но также плотности простых идеалов, определенным образом распределенных в -мерном евклидовом пространстве.

Как заметит читатель, из тауберовой теоремы вытекает результат об асимптотическом поведении коэффициентов ряда Дирихле, который имеет простой полюс, скажем в точке (где целое число), и голоморфен в остальных точках с Если вычет в точке равен 1, то сдвиг аргумента приводит к оценке сумм типа

Суммирование или интегрирование по частям показывает, что из асимптотики следует . Этот результат можно применить к дзета-функции многообразия, заданного над кольцом целых алгебраических чисел числового поля. Редуцируя по почти всем и применяя оценки Ленга — Вейля (Number of points of varieties in finite fields, Amer. J. Math. (1954), 819—827), можно убедиться, что дзета-функция аналитична при где - размерность рассматриваемого многообразия, и потому можно применить тауберову теорему.