§ 4. Локальные вычисления

v — архимедово нормирование. Мы пользуемся следующими обозначениями:

Любой характер группы представляется в виде

где Если вещественное нормирование, то или 1. Положим, далее:

В вещественном случае

В комплексном случае

Заметим, что выбранные нами функции зависят только от так что их можно обозначать символами Далее, для любого квазихарактера с, которому соответствует на группе единиц характер мы пишем вместо

Теорема 4. В описанных обозначениях для всех квазихарактеров имеют место формулы:

Доказательство. В вещественном случае первое утверждение проверяется без труда, и мы оставляем эту проверку читателю.

При доказательстве формул для дзета-функций в вещественном случае мы несколько раз пользуемся определением гамма-функции:

Вычисления здесь совсем легкие, и мы также оставляем их читателю.

В комплексном случае доказательство первого тождества слегка сложнее. Сначала мы докажем формулу для при индукцией по В соответствии с классическими обозначениями рассмотрим комплексную переменную

При разобьем интеграл Фурье на два вещественных интеграла и воспользуемся классической формулой

Пусть мы уже доказали наше тождество для некоторого так что

Разделяя вещественную и мнимую части, получаем

Положим и применим оператор к обеим частям тождества (это легко, потому что в силу аналитичности функции имеем В результате получится наше утверждение для Общий шаг индукции тем самым проведен.

Для доказательства нашего тождества при следует рассмотреть преобразование Фурье уже доказанной формулы

и учесть, что

При доказательстве формул для дзета-функций можно считать, не ограничивая общности, что а характер имеет вид Тогда

откуда требуемое тождество немедленно получается заменой переменных. Функция после этого вычисляется с помощью первого утверждения теоремы и определений.

— -адическое нормирование. Мы пользуемся следующими обозначениями:

Символом обозначается порядок ведущего идеала характера так что Как и в архимедовом случае, функция будет зависеть только от этого целого числа; именно, положим:

относятся, конечно, к

Для удобства будем писать вместо

Предложение 5. Имеем

Доказательство. Это немедленно следует из того обстоятельства, что интеграл от тривиального характера по компактной группе равен а от нетривиального — нулю. (Роль компактной группы в нашем случае играет

Отметим, что - характеристическая функция группы -кратная характеристическая функция группы о.

Вычислим теперь в явном виде дзета-функцию для неразветвленных характеров. Если характер неразветвлен, значение не зависит от выбора простого элемента , и мы будем писать просто

Теорема 5. Пусть - неразветвленный характер группы - характеристическая функция идеала Тогда

Доказательство. В несложном подсчете используется определение мультипликативной меры Хаара через аддитивную, а интеграл представляется в виде суммы интегралов по кольцам где меняется от до . На каждом таком кольце постоянна, а потому что характер неразветвлен. Детали мы оставляем читателю.

Следствие 1. Имеем

и

Доказательство. Применить теорему к в первом случае и к втором.

Следствие 2. Пусть неразветвленный характер группы характеристическая функция группы Тогда

и

Заметим, что для неразветвленных характеров в знаменателе дзета-функции стоит обычное выражение Это не так для разветвленных характеров.

Теорема 6. Пусть — некоторый простой элемент, X — характер группы порядок его ведущего идеала, система единиц, представителей классов Положим и

Пусть, далее, с Тогда

где Далее,

Замечание: мера - это, разумеется, в обозначении

Доказательство. По определению,

где — кольцо Мы утверждаем, что все члены в этой сумме, кроме первого, равны нулю.

Случай 1. Тогда на и интересующий нас интеграл имеет вид

Это — нуль, потому что характер х нетривиален на

Случай (Этот случай может представиться лишь при Чтобы справиться с ним, разобьем на непересекающиеся подмножества вида На каждом таком подмножестве функция X постоянна и равна а наш интеграл равен

Обращение его в нуль следует из того, что мультипликативным сдвигом этот интеграл можно превратить в интеграл по группе на которой наш характер нетривиален.

Тем самым получаем

Превратить это выражение в формулу, выписанную в условии теоремы, не представляет труда.

Для вычисления функции следует воспользоваться тем, что представляет собой -кратную характеристическую функцию группы , а функция на этой подгруппе равна 1. Отсюда немедленно получаем требуемое.

Следствие. Пусть с где -характер с ведущим идеалом порядка Тогда

а число по модулю равно 1.

Доказательство. Первое утверждение следует из определения как отношения соответствующих дзета-функций. Для доказательства второго следует положить и воспользоваться тем, что при имеем