§ 1. Вейерштрассово разложение L-ряда

В этой главе мы будем постоянно пользоваться результатами гл. VII, § 8. Пусть к — числовое поле, характер группы классов иделей, Положим и

где Далее, символом обозначается произведение обычных множителей по всем относительно которых неразветвлен. Функция

удовлетворяет функциональному уравнению вида

или

где числа по абсолютной величине равны 1.

Как обычно, символ означает 1 для и 0 — в остальных случаях.

Мы хотим доказать, что

является целой функцией порядка 1 и потому, по стандартной общей теореме теории функций комплексной переменной, разлагается в произведение вида

где пробегает все нули функции с их кратностями, а — константы,

Нам придется оценивать гамма-множители с помощью формулы Стирлинга

где

— пилообразная функция. Интегральный член допускает оценку равномерно в любом секторе вида

Следовательно, для любого фиксированного комплексного числа а в таком секторе имеет место равномерная асимптотическая формула

В частности, если а вещественно, полагая находим, что

равномерно в описанном секторе. Аналогично для вещественных а и имеем

Обозначим символом произведение множителей т. е., по существу, гамма-множителей. Очевидно, что для любого в полуплоскости Далее, из представления в виде произведения ясно, что эта функция ограничена в полуплоскости при любом вещественном а Следовательно, в такой полуплоскости.

Функциональное уравнение дает такую же оценку в полуплоскости — а.

С другой стороны, представление в виде суммы двух интегралов, сходящихся при всех и члена, описывающего полюсы в точках , показывает, что эта функция ограничена в каждой полосе за

исключением окрестностей полюсов когда они имеются, т. е. при Мы покажем тем самым, что требуемая оценка имеет место при всех за исключением таких окрестностей, и, значит, порядок функции равен 1.