§ 3. Некоторые фильтрации

Пусть и пусть неприводимый многочлен над корнем которого является а. В качестве выберем многочлен, достаточно близкий к но с коэффициентами в поле и положим

Это следствие оправдывает употребление названия -адическое поле по отношению к любому конечному расширению поля Целое замыкание кольца -адических чисел поля имеет единственный максимальный идеал, который обозначается буквой

§ 3. Некоторые фильтрации

Пусть — дискретно нормированное кольцо с максимальным идеалом К — его поле частных, полное относительно нормирования, определенного кольцом . Пусть -образующий элемент идеала Эти обозначения сохраняются на протяжении всего параграфа; соответствующее кольцу о нормирование также предполагается фиксированным.

Известно, что в топологии, определяемой нормированием, подгруппы открыты. В самом деле, для любого элемента К и для всех К с условием имеем Поэтому открытые подгруппы, и их пересечение сводится к нулю. Тем самым они образуют фундаментальную систему

окрестностей нуля в поле К (мы полагаем по определению).

Умножение на определяет изоморфизм аддитивной группы с группой

Единицы кольца о образуют группу по умножению, обозначаемую буквой Для всякого целого числа положим

и . Все - группы, потому что если то

а ряд

сходится.

Единицы образуют открытое подмножество кольца о. Пусть элемент имеет порядок 1 относительно очевидно, группа К топологически и алгебраически изоморфна прямому произведению где циклическая группа, порожденная элементом .

При каноническом гомоморфизме

единицы отображаются на ненулевые элементы поля а ядром индуцированного гомоморфизма

является в точности группа Тем самым Далее, при имеет место изоморфизм

индуцированный отображением идеала которое задается формулой

То обстоятельство, что это гомоморфизм с ядром проверяется немедленно: это — начало экспоненциального отображения,

Если конечное поле из элементов, то число элементов группы также равно , а число элементов группы равно

Предложение 5. Если поле конечно, то компактны.

Доказательство, о есть проективный предел конечных групп который компактен (его можно рассматривать как замкнутую подгруппу прямого произведения групп . То же верно для группы которая является проективным пределом групп

Группы образуют фундаментальную систему окрестностей 1 в группе

Тем самым -адическое поле локально компактно.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, всякая единица в -адическом поле, достаточно близкая к 1, является степенью. Поэтому для любого целого положительного числа индекс конечен. Сейчас мы вычислим этот индекс.

Нам понадобится одна теоретико-групповая лемма.

Лемма. Пусть гомоморфизм коммутативной группы А в другую группу, - его образ, ядро. Пусть В — некоторая подгруппа группы В. Тогда

в том смысле, что если два из входящих сюда индексов конечны, то конечен и третий, и имеет место выписанное равенство.

Доказательство. Это — легкое следствие обычных теорем о гомоморфизмах. Мы оставляем подробности читателю.

Предложение 6. Пусть К есть -адическое поле, группа единиц его кольца целых чисел. Пусть положительное целое число. Тогда

и

где К - группа корней степени из единицы, содержащихся в поле К.

Доказательство. Вторая формула следует из первой, потому что

Доказательство первой формулы, следующее ниже, взято из лекций Артина [1].

Выберем число настолько большим, что и рассмотрим группу Тогда для любого целого х имеем

Тем самым, полагая получим

Пусть кроме того, настолько велико, что ни один из корней степени из 1, кроме 1, не принадлежит Применим сформулированную выше лемму к гомоморфизму группы единиц. В результате получим

Следовательно,

Но откуда следует наше утверждение.