Главная > Алгебраические числа
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Некоторые фильтрации

Пусть и пусть неприводимый многочлен над корнем которого является а. В качестве выберем многочлен, достаточно близкий к но с коэффициентами в поле и положим

Это следствие оправдывает употребление названия -адическое поле по отношению к любому конечному расширению поля Целое замыкание кольца -адических чисел поля имеет единственный максимальный идеал, который обозначается буквой

§ 3. Некоторые фильтрации

Пусть — дискретно нормированное кольцо с максимальным идеалом К — его поле частных, полное относительно нормирования, определенного кольцом . Пусть -образующий элемент идеала Эти обозначения сохраняются на протяжении всего параграфа; соответствующее кольцу о нормирование также предполагается фиксированным.

Известно, что в топологии, определяемой нормированием, подгруппы открыты. В самом деле, для любого элемента К и для всех К с условием имеем Поэтому открытые подгруппы, и их пересечение сводится к нулю. Тем самым они образуют фундаментальную систему

окрестностей нуля в поле К (мы полагаем по определению).

Умножение на определяет изоморфизм аддитивной группы с группой

Единицы кольца о образуют группу по умножению, обозначаемую буквой Для всякого целого числа положим

и . Все - группы, потому что если то

а ряд

сходится.

Единицы образуют открытое подмножество кольца о. Пусть элемент имеет порядок 1 относительно очевидно, группа К топологически и алгебраически изоморфна прямому произведению где циклическая группа, порожденная элементом .

При каноническом гомоморфизме

единицы отображаются на ненулевые элементы поля а ядром индуцированного гомоморфизма

является в точности группа Тем самым Далее, при имеет место изоморфизм

индуцированный отображением идеала которое задается формулой

То обстоятельство, что это гомоморфизм с ядром проверяется немедленно: это — начало экспоненциального отображения,

Если конечное поле из элементов, то число элементов группы также равно , а число элементов группы равно

Предложение 5. Если поле конечно, то компактны.

Доказательство, о есть проективный предел конечных групп который компактен (его можно рассматривать как замкнутую подгруппу прямого произведения групп . То же верно для группы которая является проективным пределом групп

Группы образуют фундаментальную систему окрестностей 1 в группе

Тем самым -адическое поле локально компактно.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, всякая единица в -адическом поле, достаточно близкая к 1, является степенью. Поэтому для любого целого положительного числа индекс конечен. Сейчас мы вычислим этот индекс.

Нам понадобится одна теоретико-групповая лемма.

Лемма. Пусть гомоморфизм коммутативной группы А в другую группу, - его образ, ядро. Пусть В — некоторая подгруппа группы В. Тогда

в том смысле, что если два из входящих сюда индексов конечны, то конечен и третий, и имеет место выписанное равенство.

Доказательство. Это — легкое следствие обычных теорем о гомоморфизмах. Мы оставляем подробности читателю.

Предложение 6. Пусть К есть -адическое поле, группа единиц его кольца целых чисел. Пусть положительное целое число. Тогда

и

где К - группа корней степени из единицы, содержащихся в поле К.

Доказательство. Вторая формула следует из первой, потому что

Доказательство первой формулы, следующее ниже, взято из лекций Артина [1].

Выберем число настолько большим, что и рассмотрим группу Тогда для любого целого х имеем

Тем самым, полагая получим

Пусть кроме того, настолько велико, что ни один из корней степени из 1, кроме 1, не принадлежит Применим сформулированную выше лемму к гомоморфизму группы единиц. В результате получим

Следовательно,

Но откуда следует наше утверждение.

1
Оглавление
email@scask.ru