Глава IX. ТЕОРЕМА БРАУЭРА—ЗИГЕЛЯ

С помощью интегральных выражений дзета-функции можно получить некоторые оценки для ее вычета и вывести из них один асимптотический результат, связывающий число классов, регулятор и дискриминант числового поля. Формулировка этого результата такова.

Пусть пробегает последовательность числовых полей, нормальных над степень которых и абсолютная величина дискриминанта удовлетворяют условию Тогда

Вопрос о необходимости условия нормальности и предположения связан, с одной стороны, с гипотезой Артина о неабелевых -рядах, а с другой — с классической задачей о существовании бесконечных неразветвленных расширений. В самом деле, когда К пробегает неразветвленные расширения поля отношение остается постоянным.

Заметим, что дискриминант поля где корень из единицы простой степени равен так что наше утверждение применимо к этим полям. То же относится к башне полей корней степени из 1.

Ввиду этого изучение поведения представляет значительный интерес. Мы будем пользоваться, по существу, элементарным утверждением об ограниченности числа на множестве числовых полей . Это немедленно вытекает из теоремы Минковского о существовании в каждом классе идеалов целого идеала а

с нормой где - константа Минковского. Извлекая корень степени из обеих частей неравенства и пользуясь тем, что после несложного вычисления находим, что где С — некоторая константа.