§ 5. Ограниченные прямые произведения

В предыдущей главе мы изучили топологию ограниченных прямых произведений и, в частности, групп иделей и аделей. Здесь мы займемся мерой Хаара и двойственностью Понтрягина.

Пусть - произвольное множество индексов, локально компактная коммутативная группа; компактная открытая подгруппа, заданная для всех, кроме конечного числа индексов

Квазихарактером ограниченного произведения групп называется его непрерывный гомоморфизм в группу С.

Ограничение квазихарактера с группы на подгруппу обозначается символом . В силу непрерывности на гомоморфизм тривиален на всех, кроме конечного числа групп это следует из того, что мультипликативная

группа комплексных чисел не содержит нетривиальных подгрупп в малой окрестности единицы. Далее, имеет место формула

потому что все, кроме конечного числа членов этого произведения, равны 1.

Обратно, если задан набор квазихарактеров групп обращающихся в 1 на всех, кроме конечного числа подгрупп их произведение определяет квазихарактер с группы

Отметим, что с является характером в том и только том случае, когда для всех о является характером.

Пусть - группа характеров группы G, -ортогональное дополнение замкнутой подгруппы состоящее из характеров, тривиальных на Имеют место естественные изоморфизмы

В нашем частном случае ограниченных прямых произведений легко проверить следующую теорему.

Теорема 7. Ограниченное прямое произведение групп относительно подгрупп (которые компактны в силу компактно-дискретной двойственности), естественно изоморфно, топологически и алгебраически, группе характеров группы

Этот изоморфизм, разумеется, задается формулой

Мера Хаара. Предположим, что на каждой из групп выбрана мера Хаара относительно которой подгруппа имеет меру 1 для почти всех Мы хотим определить меру Хаара на группе для которой в некотором смысле . С этой целью привлечем открытые подгруппы являющиеся произведением локально компактных групп, из которых почти все компактны. На группах можно определить глобальную меру как произведение локальных. На группе существует единственная

мера Хаара индуцирующая на каждой из подгрупп это произведение мер (проверка тривиальна).

Лемма. Для всякой функции на группе имеем

при выполнении одного из двух условий:

1) функция измерима и неотрицательна, в этом случае включается в число допустимых значений интегралов;

2) ; в этом случае значениями интегралов являются комплексные числа.

Доказательство. В обоих случаях представляет собой предел интегралов по всем большим компактным подмножествам группы а любой компакт содержится в одной из подгрупп

Теорема 8. Пусть для каждого индекса задана непрерывная функция которая для почти всех равна 1 на Положим

на (произведение в действительности конечно). Функция непрерывна. Если, кроме того,

конечно, то и

Доказательство. Очевидно.

Преобразование Фурье. Мы сохраняем прежние обозначения; переменный элемент группы Пусть - мера на группе двойственная к мере на Пусть - характеристическая функция подгруппы

Ее преобразование Фурье

равно характеристической функции подгруппы умноженной на меру группы

Из формулы обращения поэтому следует, что

так что мера группы для почти всех равна 1. Тем самым мы можем определить глобальную меру

Теорема 9. Пусть непрерывные функции, принадлежащие пространствам соответственно (т. е. Предположим, кроме того, что для почти всех и совпадает с характеристической функцией подгруппы ». Тогда функция

принадлежит пространству и

Доказательство. Применяя теорему 8 к функции получаем, что преобразование Фурье произведения локальных функций совпадает с произведением их преобразований Фурье. Поскольку отсюда следует, что при всех Для почти всех функция совпадает с характеристической функцией подгруппы Следовательно, стало быть,

Следствие. Мера двойственна к