Глава VII. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

Мы начнем с теории двойственности для локальных полей, т. е. пополнений числовых полей относительно некоторого нормирования. В § 1 содержится аддитивная теория, а в § -мультипликативная; обе они используются в дальнейшем.

В § 3 мы устанавливаем локальное функциональное, уравнение, а в § 4 проводим некоторые локальные выкладки и вычисляем специальные дзета-функции, которые и употребляются практически. В § 5 обсуждается мера Хаара и интегрирование на ограниченных прямых произведениях, а в § 6 строится аддитивная глобальная двойственность. Основной результат состоит в том, что группа аделей двойственна самой себе, а аддитивная дискретная группа поля вложенная в группу аделей, является в ней собственным ортогональным дополнением. Тем самым к этой ситуации можно применить формулу Пуассона (что и делается в § 7), из которой немедленно получается функциональное уравнение для -рядов в абстрактной форме. На самом деле мы получаем больше (как и в классическом случае), потому что -ряд представляется в виде всюду сходящегося интеграла плюс простой член, выделяющий возможные простые полюсы в точках или

Наконец, в § 8 мы вычисляем в явном виде объекты, фигурирующие в § 7, и приводим набор тождеств, полезных в последующих приложениях.

Условимся относительно некоторых обозначений. Для всякой локально компактной коммутативной группы символом обозначается множество непрерывных комплекснозначных функций на которые принадлежат и обладают тем свойством, что их

преобразование Фурье тоже непрерывно и принадлежит Для этих функций имеет место формула обращения Фурье, если мы надлежащим (и однозначным) образом выберем меру Хаара на в зависимости от меры Хаара на Такая пара мер будет называться взаимно двойственной; в нашей теории аддитивные меры постоянно будут взаимно двойственными.

Мы будем часто пользоваться тем обстоятельством, что для всякого характера на компактной группе имеет место тождество

Ввиду тривиальности этого факта напомним его доказательство. Если существует такой элемент для которого Сдвигая что не меняет меры, получаем

Вычитая и пользуясь тем, что находим требуемое.